Noether's Theorem and Symmetry

refer to Physics from Symmetry by Jakob Schwichtenberg.

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1 Halmilton 最小作用量原理

拉格朗日密度函数 $L = L / V$ 是一个洛伦兹标量, 具有洛伦兹协变性, 即在所有惯性参考系中具有相同的形式. 作用量 $S$ 是一个泛函, 具有洛伦兹不变性, 即其极小值对应的路径 $q (t)$ 在所有惯性参考系中不变. 两者的关系如下:

S [q (t)] = \int L (q (t), \dot{q} (t), t) d t

1.1 Fermat 原理

关于最小作用量的一个简单的例子就是 $f e r m a t$ 原理, 即光沿着光程取极值的路径(测地线)传播:

min S = min \int n d s = min \int \frac{c}{v} \frac{d s}{d t} d t = min \int c d t \propto min \int d t

2 Euler-Lagrange 方程

对于位形空间中固定的两个端点, $E u l e r - L a g r a n g e$ 方程可以找到一条路径 $q (t)$ , 使得作用量取得极值(极大 $o r$ 极小), 推导步骤如下:

已知:

S = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q, \dot{q}, t) d t

对泛函进行微扰 $q (t) \to q (t) + δ q (t)$ :

S^{'} = \int_{t_{1}}^{t_{2}} L (q + δ q, \dot{q} + δ \dot{q}, t) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{\partial L}{\partial q} δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q}] d t

由于端点固定( $δ q (t_{1}) = δ q (t_{2}) = 0$ )和变分原理 $δ \dot{q} = \frac{d}{d t} δ q$ , 保留线性项:

\begin{array}{l} δ S & = \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{\partial L}{\partial q} δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q}] d t \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{\partial L}{\partial q} δ q d t + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} d δ q] \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial L}{\partial q} δ q d t + {\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q |}_{t_{1}}^{t_{2}} - \int_{t_{1}}^{t_{2}} d (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) δ q \\ = \int_{t_{1}}^{t_{2}} [\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}})] δ q d t \\ = 0 \end{array}

根据端点选取的任意性, 得到粒子(质点)的 $E u l e r - L a g r a n g e$ 方程:

\frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) = 0

如果广义坐标为多个, 记为 $q_{α}$ , 得到方程组:

\frac{\partial L}{\partial q_{α}} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}}) = 0

如果处理对象不是质点, 而是标量场 $Φ (x^{μ})$ , 对应拉氏函数 $L (Φ, \partial_{μ} Φ, x^{μ})$ , 类似地:

\frac{\partial}{\partial x^{μ}} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} - \frac{\partial L}{\partial Φ} = 0

如果对象是四维矢量场 $A^{ν} (x^{μ})$ , 对应拉氏函数 $L (A^{ν}, \partial_{μ} A^{ν}, x^{μ})$ , 只需将上式的 $Φ$ 替换为 $A^{ν}$ :

\frac{\partial}{\partial x^{μ}} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} A^{ν})} - \frac{\partial L}{\partial A^{ν}} = 0

3 Nother 定理

诺特定理描述了系统在某种变换下的对称性, 即在这些变换下作用量的变分(或者说作用量的极值与其对应的系统演化路径)保持不变时, 可以找到一些守恒量.

3.1 自由粒子

3.1.1 守恒量的一般形式

拉格朗日量的非唯一性告诉我们, 如果拉氏量加上一个函数 $G (q, t)$ 对于时间的全导数 $L \to L + \frac{d G}{d t}$ (此变化记作 $Δ$ ), 将使得作用量不变:

Δ S = \int d t Δ L = {G (q (t), t) |}_{t_{1}}^{t_{2}} = c o n s t .

即变换前后, 作用量 $S$ 只相差一个常数项, 那么变分 $δ S = δ (S + Δ S)$ , 将得到相同的运动方程(欧拉-拉格朗日方程). 因此, 对于无限小变换 $q (t) \to q (t) + δ q (t)$ , 仍有 $δ q (t_{1}) = δ q (t_{2}) = 0$ 和 $δ \dot{q} = \frac{d}{d t} δ q$ 。但是注意，

δ L = Δ L = \frac{d G}{d t}

即:

\begin{array}{l} \frac{d G}{d t} & = \frac{\partial L}{\partial q} δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} δ t \\ = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} δ t \\ = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q + \int^{t} \frac{\partial L}{\partial t} δ t d t) \end{array}

就能得到一个守恒量:

J = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q - G + \int^{t} \frac{\partial L}{\partial t} δ t d t

3.1.2 时空平移

时间对称性 $\to$ 能量守恒

对于无限小时间平移 $t \to t + ϵ$ 不变性, 对应于 $q (t) \to q (t + ϵ) = q (t) + \dot{q} (t) ϵ$ ,

δ L (q (t), \dot{q} (t), t) = (\frac{\partial L}{\partial q} \frac{d q}{d t} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d \dot{q}}{d t} + \frac{\partial L}{\partial t}) δ t = \frac{d L}{d t} δ t = \frac{d L ϵ}{d x} = \frac{d G}{d t}

故可取 $G = ϵ L$ ，进一步地，若 $L$ 不显含 $t$ , 就得到哈密顿量 $H$ 是守恒量:

\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q - ϵ L = c o n s t . \to H \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L = c o n s t .

而且从 $L$ 到 $H$ 的变换就是勒让德变换.

注意, 在理论力学中我们知道:

\frac{d H}{d t} \overset{p o i s s o n 括 号}{=} \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}

所以 " $H$ 是守恒量" 与 " $H$ 不显含 $t$ ", " $L$ 不显含 $t$ " 等价, 这与上述是一致的.

空间对称性 $\to$ 动量守恒

对于无限小空间平移 $q_{α} (t) \to q_{α} (t) + ϵ_{α}$ 不变性, 取 $G = 0$ ，于是得到广义动量 $p_{α}$ 是守恒量:

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} δ q_{α} = c o n s t . \to p_{α} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} = c o n s t .

当然, $δ t = 0$ , 所以不必理睬 $\int^{t} \frac{\partial L}{\partial t} δ t d t$ , 该项自动为 $0$ .

3.1.3 旋转和 boost

旋转对称性 $\to$ 角动量守恒

已知 $S O (3)$ 的生成元可以写作 $(J_{i})_{j k} = - ϵ_{i j k}$ , 于是欧氏空间无限小旋转可表述为 $q_{i} \to e^{\vec{θ} \cdot J_{i}} \cdot \vec{q} = [I + θ_{j} (J_{i})_{j k}] q_{k} = q_{i} - ϵ_{i j k} θ_{j} q_{k} = q_{i} + ϵ_{i j k} θ_{k} q_{j}$ , 取 $G = 0$ ，可得到角动量 $J_{r o t}$ 是守恒量:

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} ϵ_{i j k} θ_{k} q_{j} = θ_{k} ϵ_{i j k} q_{j} p_{i} = \vec{θ} \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = c o n s t . \to J_{r o t} = \vec{q} \times \vec{p}

推动对称性 $\to$ 质心运动定理

无限小 $b o o s t$ 时, 洛伦兹变换退化为伽利略变换, 举个例子: 考虑 $x$ 方向的 $b o o s t$ ,

\begin{array}{l} x = e^{\vec{ϕ} \cdot K} \cdot \vec{x} & = x + [\begin{array}{c} 0 & ϕ & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} t \\ x \\ 0 \\ 0 \end{array}] \\ = x + ϕ t \approx x + \tanh ϕ \cdot t \\ = x + β t (β = \frac{v}{c}) \end{array}

或者也可以直接对洛伦兹变换的双曲旋转形式做一阶近似:

[\begin{matrix} c h ϕ & s h ϕ \\ s h ϕ & c h ϕ \end{matrix}] \approx [\begin{matrix} 1 & ϕ \\ ϕ & 1 \end{matrix}] \approx [\begin{matrix} 1 & v \\ v & 1 \end{matrix}]

或者也可以类似旋转对称性的讨论, 利用洛伦兹群对应的生成元 $K$ , 可写作 $q_{i} \to q_{i} + ϕ_{j} (K_{i})_{j k} q_{k}$ , 都将得到一致的结论: $q_{α} \to q_{α} + v_{α} t$ , 以及 ${\dot{q}}_{α} \to {\dot{q}}_{α} + v_{α}$ 注意 $v_{α}$ 是一个常值小量而不是变量 ${\dot{q}}_{α}$ . 考虑一维情形 $q \to q + v t$ 以及一个简单的多自由粒子的拉氏量:

L = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i}^{2}

于是

δ L (q (t), \dot{q} (t), t) = \frac{\partial L}{\partial q} v t + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} v = \sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i} v = \frac{d G}{d t}

所以可以取 $G = \sum_{i} m_{i} q_{i} v$ , 得到:

\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} δ q_{i} - \sum_{i} m_{i} q_{i} v \equiv \sum_{i} (p_{i} v t - m_{i} q_{i} v) = c o n s t . \to q_{c} = \frac{\sum_{i} m_{i} q_{i}}{\sum_{i} m_{i}} = \frac{\sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i} t}{\sum_{i} m_{i}}

即初始时刻质心位于原点的质心运动方程.

3.2 自由场

3.2.1 场的内禀对称性

考虑矢量场 $A^{μ} (x^{ν})$ , 拉氏函数的形式为 $L (A^{μ}, \partial_{ν} A^{μ})$ (不显含四维坐标是因为只考虑场的内禀对称性, 此时坐标变分 $δ x^{μ} = 0$ ). 在场本身的无穷小变换 $A^{μ} \to A^{' μ} = A^{μ} + δ A^{μ}$ , 拉氏函数的不变性可以表述为:

\begin{array}{l} 0 = δ L & = \frac{\partial L}{\partial A^{μ}} δ A^{μ} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} δ (\partial_{ν} A^{μ}) \\ = \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})}) δ A^{μ} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} \partial_{ν} δ A^{μ} \\ = \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} δ A^{μ}) \end{array}

定义 $N o t h e r$ 流 $J^{ν} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} δ A^{μ}$ , 于是上式可以写作连续性方程:

\partial_{ν} J^{ν} = 0

记 $J^{ν} = (J^{0}, \vec{J})$ , 于是

\begin{matrix} \partial_{t} J^{0} = - \nabla \cdot \vec{J} \\ ↓ \\ \partial_{t} \int J^{0} d^{3} x = - \int \nabla \cdot \vec{J} d^{3} x = - \int \vec{J} \cdot d \vec{S} \end{matrix}

对全空间积分, 考虑到场不存在于无穷远处, 即无穷远处流的通量为 $0$ , 将得到守恒量:

\int J^{0} d^{3} x = \int \frac{\partial L}{\partial (\partial_{t} A^{μ})} δ A^{μ} d^{3} x = c o n s t .

如果场在自身的平移下保持不变(此时 $δ A^{μ}$ 退化为任意常数), 于是有正则动量(广义动量 $Π^{σ} = \int \frac{\partial L}{\partial (\partial_{σ} Φ)} d^{3} x$ )的时间分量守恒:

Π_{μ}^{t} = \int \frac{\partial L}{\partial (\partial_{t} A^{μ})} d^{3} x

3.2.2 时空平移

能动张量

考虑标量场 $Φ (x^{μ})$ , 拉氏函数的形式为 $L (Φ, \partial_{μ} Φ, x^{μ})$ , 其中总变分 $δ Φ$ 由两部分组成：坐标变换引起的 $L i e$ 导数项和场的内禀变分 $Ψ$ 。其一般形式为：

δ Φ = Ψ - δ x^{μ} \partial_{μ} Φ

对于纯坐标变换, 内禀变分 $Ψ = 0$ , 此时 $δ Φ = - δ x^{μ} \partial_{μ} Φ$ ; 对于纯内部对称性(如 $U (1)$ 规范变换), 坐标变换生成元 $δ x^{μ} = 0$ , 此时 $δ Φ = Ψ$ . 负号来源于场移动方向与坐标变换 $δ x^{μ}$ 方向相反.

内禀分量 $Ψ$ 的具体形式取决于场 $Φ$ 所服从的内部对称性群及其表示. 例如, 对于非阿贝尔规范对称性 $S U (N)$ , 则 $Ψ$ 由群的生成元作用在场 $Φ$ 上,

Ψ^{α} = T^{α} Φ

其中, $T^{α}$ 是规范群的生成元矩阵( 如 $S U (2)$ 的泡利矩阵 $σ^{α} / 2$ ). 此时场的变分为,

δ Φ = ϵ^{a} \cdot Ψ^{a} = ϵ^{a} T^{a} Φ

或者用庞加莱群表示为,

δ Φ = ϵ^{μ ν} M_{μ ν} Φ

对应于规范变换 $Φ \to e^{\frac{ϵ^{μ ν}}{2} M_{μ ν}} Φ$ . $ϵ$ 为变换参数, 如旋转角度. 因此, 在时空平移 $x^{μ} \to x^{' μ} = x^{μ} + δ x^{μ}$ 下(纯坐标变换), 标量场 $Φ$ 的变换 $δ Φ$ 简化为,

δ Φ = - \partial_{μ} Φ δ x^{μ}

注意, $δ x^{μ}$ 为常量, 于是拉氏函数的不变性可以表述为,

\begin{array}{l} 0 = δ L & = \frac{\partial L}{\partial Φ} δ Φ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} δ (\partial_{ν} Φ) + \partial_{μ} L δ x^{μ} \\ = \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} δ Φ) + \partial_{μ} L δ x^{μ} \\ = - [\partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ δ x^{μ}) - \partial_{μ} L δ x^{μ}] \\ = - \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L) δ x^{μ} \end{array}

定义能动张量(混合指标形式) $T_{μ}^{ν} := \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L$ , 于是,

\partial_{ν} T_{μ}^{ν} = \partial_{t} T_{μ}^{0} + \partial_{i} T_{μ}^{i} = 0

通过利用度规升降指标, 以及 $\frac{\partial L}{\partial (\partial^{μ} Φ)} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{α} Φ)} \frac{\partial (\partial_{α} Φ)}{\partial (\partial^{μ} Φ)} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{α} Φ)} g_{α μ}$ , 容易得到逆变形式 $T^{μ ν} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} \partial^{ν} Φ - g^{μ ν} L$ . 上式在无穷远处场为 $0$ , 所以在全空间中积分可得到 $4$ 个守恒量:

\begin{matrix} E = \int d^{3} x T_{0}^{0} \\ P_{i} = \int d^{3} x T_{i}^{0} \end{matrix}

3.2.3 旋转和 boost

诺特流

在旋转和推动变换下, $x^{μ} \to x^{' μ} = x^{μ} + δ x^{μ}$ 且 $δ x^{μ} = M^{μ σ} x_{σ}$ 是常值, 参见上一节, 有:

\begin{array}{cl} 0 = δ L & = - \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L) δ x^{μ} \\ = - \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L) M^{μ σ} x_{σ} \\ = - \partial_{ν} T_{μ}^{ν} M^{μ σ} x_{σ} \\ = - \partial_{ν} T^{μ ν} M_{μ σ} x^{σ} \\ M_{μ σ} = - M_{σ μ} \to & = - \frac{1}{2} (\partial_{ν} T^{μ ν} M_{μ σ} x^{σ} - \partial_{ν} T^{σ ν} M_{μ σ} x^{μ}) \\ = - \frac{1}{2} \partial_{ν} (T^{μ ν} x^{σ} - T^{σ ν} x^{μ}) M_{μ σ} \end{array}

定义 $N o t h e r$ 流 $(J^{ν})^{μ σ} = T^{μ ν} x^{σ} - T^{σ ν} x^{μ}$ , 上式可改写为,

\partial_{ν} (J^{ν})^{μ σ} = 0

或者

\begin{array}{l} 0 & = \partial_{ν} (T^{μ ν} x^{σ} - T^{σ ν} x^{μ}) \\ = T^{μ σ} + x^{σ} \partial_{ν} T^{μ ν} - T^{σ ν} - x^{μ} \partial_{ν} T^{σ ν} \\ = T^{μ σ} - T^{σ ν} \end{array}

这意味着诺特流的四维散度为零, 等同于能动张量对称.

旋转对称性 $\to$ 场的角动量守恒

轨道角动量

与时空平移不同, 对于 $δ Φ = Ψ - δ x^{μ} \partial_{μ} Φ$ , 旋转将可能导致内禀变分 $Ψ$ 不为零(称为自旋).

暂时不考虑内禀对称性. 类似地, 在无穷远处场为 $0$ , 所以对诺特流在全空间中积分得到:

Q^{μ σ} = \int d^{3} x (J^{0})^{μ σ} = \int d^{3} x (T^{μ 0} x^{σ} - T^{σ 0} x^{μ})

是守恒量. 对于转动不变性, 可选取指标 $i, j \in {1, 2, 3}$ 的部分(对应于庞加莱代数的旋转生成元 $M_{i j}$ ), 已知旋转生成元 $J_{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} M_{j k}$ , 相应的有场的轨道角动量 ${\vec{L}}_{o r b i t}$ 是守恒量:

L_{o r b i t}^{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} Q^{j k} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} \int d^{3} x (T^{j 0} x^{k} - T^{k 0} x^{j}) = \int ϵ_{i j k} T^{j 0} x^{k} d^{3} x = \int d^{3} x (\vec{x} \times \vec{p})^{i}

在这里，如果加入带电粒子，就会有 $T^{μ ν} = T_{f i e l d}^{μ ν} + T_{p a r t i c l e s}^{μ ν}$ ，其中

T_{f i e l d}^{μ ν} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} \partial^{ν} Φ - g^{μ ν} L

是前面证明过的，而

T_{particle}^{μ ν} = ρ U^{μ} U^{ν} = m \int d τ \frac{d x^{μ}}{d τ} \frac{d x^{ν}}{d τ} δ^{4} (x - x (τ))

现在，我们将这个连续的 $T_{particle}^{μ ν}$ 代入场论守恒荷公式 $Q^{μ σ}$ 中：

\begin{aligned} Q_{particle}^{μ σ} & = \int d^{3} x (T_{particle}^{μ 0} x^{σ} - T_{particle}^{σ 0} x^{μ}) \\ = \int d^{3} x [(m \int d τ {\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}^{0} δ^{4} (x - x (τ))) x^{σ} - (m \int d τ {\dot{x}}^{σ} {\dot{x}}^{0} δ^{4} (x - x (τ))) x^{μ}] \end{aligned}

由于积分变量 $\dot{x} (= \frac{d x}{d τ})$ ， $x$ 和 $τ$ 是独立的，我们可以交换积分顺序：

Q_{particle}^{μ σ} = m \int d τ {\dot{x}}^{0} [{\dot{x}}^{μ} (\int d^{3} x x^{σ} δ^{3} (x - x (τ))) - {\dot{x}}^{σ} (\int d^{3} x x^{μ} δ^{3} (x - x (τ)))]

得到

Q_{particle}^{μ σ} = m [{\dot{x}}^{μ} x^{σ} - {\dot{x}}^{σ} x^{μ}]

这个结果正是自由粒子在粒子理论中的轨道角动量部分。当然，我们一般考虑在电磁场中运动的带电粒子，这样 $T_{particle}^{μ ν}$ 就不只是包含 $m$ 项，还会多出一个因为与电磁场相互作用的含电荷 $e$ 的项，变成：

T_{particle}^{μ ν} = \int d τ p^{μ} \frac{d x^{ν}}{d τ} δ^{4} (x - x (τ))

此处 $p^{μ} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_{μ}}$ 为粒子的广义动量，代入一般的单个带电粒子在电磁场运动的拉氏量 $L_{3 D} (\vec{x}, \vec{v}, t) = - \frac{m c^{2}}{γ (v)} - e ϕ + e \vec{v} \cdot \vec{A}$ ，或者等价的： $L_{4 D} (x^{μ}, {\dot{x}}^{μ}, τ) = - m c \sqrt{{\dot{x}}^{μ} {\dot{x}}_{μ}} - e {\dot{x}}^{μ} A_{μ} (x^{μ})$ ，可以得到：

p^{μ} = \frac{\partial L_{4 D}}{\partial {\dot{x}}_{μ}} = - m {\dot{x}}^{μ} - e A^{μ}

前面所说的“多出一个因为与电磁场相互作用的含电荷 $e$ 的项”指的就是上式的第二项。上式也可以等价为：

\begin{aligned} E & = - c p^{0} = γ m c^{2} + e φ \\ \vec{p} & = \frac{\partial L_{3 D}}{\partial \vec{v}} = - (p^{i}) = γ m \vec{v} + e \vec{A} \end{aligned}

自旋角动量

这里先插入一个题外话, 已知 $M_{μ ν} = x_{μ} \partial_{ν} - x_{μ} \partial_{ν}$ 是庞加莱群中旋转和 $b o o s t$ 在无穷维表示下的生成元(当然不意外, $M$ 长得像个四维形式的角动量算符). 我们先说明一下旋转变换对应的变分: $δ Φ = \underset{自旋部分}{\underset{⏟}{ϵ^{i j} S_{i j} Φ}} + \frac{ϵ^{i j}}{2} \underset{轨道部分}{\underset{⏟}{(x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i})}} Φ$ (视为 $δ x^{μ} = 0$ , 主动观点, 变换的是场) 与上面一直用的 $δ Φ = \underset{自旋}{\underset{⏟}{Ψ}} \underset{轨道}{\underset{⏟}{- δ x^{i} \partial_{i} Φ}} = ϵ^{i j} S_{i j} Φ - ϵ^{i j} x_{j} \partial_{i} Φ$ ( $δ x^{i} = ϵ^{i j} x_{j}$ , 被动观点, 变换的是坐标系) 的等价性(前者的 $\frac{1}{2}$ 因子是由于庞加莱群的旋转子群是 $S O (3)$ 的双覆盖), 即在庞加莱对称性的框架下, 通过两种变分推导出的轨道角动量是同一个物理概念. 这点容易证明, 只需要注意到旋转参数 $ϵ^{i j} 反对称 \to \frac{ϵ^{i j}}{2} (x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i}) Φ = - ϵ^{i j} x_{j} \partial_{i} Φ$ , 即两者的轨道部分相同即可.

类似上面诺特流导出的方式, 由 $δ Φ = ϵ^{i j} (x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i}) Φ + ϵ^{i j} S_{i j} Φ$ 导出的守恒流为,

J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} ϵ^{i j} (x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i}) Φ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} ϵ^{i j} S_{i j} Φ

自旋角动量流对应第二项, 可以直接写出:

(J^{μ})_{spin}^{i j} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} S^{i j} Φ

积分得到自旋角动量:

L_{s p i n}^{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} \int d^{3} x \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} Φ)} S^{j k} Φ

最终将有场的总角动量 $L = L_{o r b i t} + L_{s p i n}$ 守恒.

推动对称性

从轨道角动量一节已经得到反对称张量 $Q^{μ σ} = \int d^{3} x (J^{0})^{μ σ} = \int d^{3} x (T^{μ 0} x^{σ} - T^{σ 0} x^{μ})$ 为守恒量, 并且在轨道角动量中借用了其空间分量, 同样有时间分量守恒:

Q^{0 i} = \int d^{3} x (J^{0})^{0 i} = \int d^{3} x (T^{00} x^{i} - T^{i 0} x^{0})

即:

\begin{aligned} 0 = \frac{\partial Q^{0 i}}{\partial t} & = \frac{\partial Q^{0 i}}{\partial x^{0}} \\ = \frac{\partial}{\partial t} \int d^{3} x T^{00} x^{i} - t \int d^{3} x \frac{\partial T^{i 0}}{\partial t} - \underset{= P^{i} = c o n s t .}{\underset{⏟}{\int d^{3} x T^{i 0}}} \\ ⟹ \frac{\partial E_{c}}{\partial t} & = t P^{i} = c o n s t . \end{aligned}

对应的是能量中心 $E_{c} = \int d^{3} x T^{00} x^{i}$ 以匀速运动. 这与之前的 $b o o s t$ 不变量 $q_{c} = \frac{\sum_{i} m_{i} q_{i}}{\sum_{i} m_{i}} = \frac{\sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i} t}{\sum_{i} m_{i}}$ 不同, $q_{c}$ 守恒是对多粒子系统的非相对性描述(因为推导所用的是非相对性拉氏量 $L = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i}^{2}$ , 而不是相对性拉氏量 $L = \frac{1}{2} \sum_{i} γ_{i} (\dot{q_{i}}) m_{i} {\dot{q}}_{i}^{2}$ ), 而 $E_{c}$ 守恒是狭义相对论当中的描述, 此时能量中心和质心已经通过 $E = γ m_{0} c^{2}$ 构建了紧密的联系.