Lie Group

1 $G r o u p$ (群)

一个 $g r o u p$ (称 " $G$ ") 是一个集合，加上一个群乘法 “ $\circ$ ”，且满足以下公理：

封闭性。 $\forall g_{1}, g_{2} \in G, g_{1} \circ g_{2} \in G$ .
单位元（恒等变换）。 $\exists e \in G, s . t . \forall g \in G, g = e \circ g = g \circ e$ .
逆元（逆变换）。 $\forall g \in G, \exists g^{- 1} \in G, s . t . e = g^{- 1} \circ g = g \circ g^{- 1}$ .
结合律。 $\forall g_{1}, g_{2}, g_{3} \in G, (g_{1} \circ g_{2}) \circ g_{3} = g_{1} \circ (g_{2} \circ g_{3})$ .

2 $2 D R o t a t i o n$ (二维旋转群)

2.1 $O (2)$ 和 $S O (2)$

考虑让二维平面的向量长度不变的变换( $G^{T} G = I$ )：包括旋转和反演。或者严格讲是保持内积不变的变换。

将位于原点的向量 $\vec{X} = (x, y)^{T}$ 绕 $O$ 逆时针旋转角度 $θ$ 后，方向变为 ${\vec{X}}^{'} = (x^{'}, y^{'})^{T}$ ，记 ${\vec{X}}^{'} = R (θ) \vec{X}$ :

R (θ) = [\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}]

注意，如果旋转的是坐标系，向量方向坐标的变化也表示为 ${\vec{X}}^{'} = R (θ) \vec{X}$ 的话， $R (θ)$ 需要取逆。

关于 $x 、 y$ 轴的反演矩阵显然为：

P_{x} = d i a g (- 1, 1), P_{y} = d i a g (1, - 1)

此时矩阵乘法可以作为群乘法的一种表示方式。

Note

$O (2)$ : 满足 $O^{T} O = I$

$S O (2)$ : 满足 $d e t (O) = 1$ 的 $O (2)$ 群

" $O$ "即" $o r t h o g o n a l$ "(正交), " $S$ "即 $s p e c i a l$ .

2.2 $U (1)$

Note

$U (1)$ : 单位复数构成的群, 或者说 $U^{*} U = I$ ，或者说 $U = e^{i θ}$

" $U$ "即" $u n i t a r y$ "(幺正,单位的,酉).

$U (1)$ 可以将二维平面的复数进行旋转， $e$ 指数上的 $θ$ 就是上一节的二维实旋转的 $θ$ 。即：

1 = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}], i = e^{i \frac{π}{2}} = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}], U (θ) = [\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}]

可见，任意复数对应的群元可以表示为矩阵形式：

z = a + i b = [\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}]

于是复数的旋转可以表示为：

z^{'} = U (θ) z = [\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}] [\begin{matrix} a & - b \\ b & a \end{matrix}]

2.3 $U (1)$ 和 $S O (2)$

只取第一列：

[\begin{matrix} a^{'} \\ b^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}] [\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}]

其对应二维实旋转，当视为 $x, y \to a, b$ .

同构

如果映射 $Π : G \to G^{'}$ 一一映射, 并且满足:

\forall g_{1}, g_{2} \in G, Π (g_{1}) \circ Π (g_{2}) = Π (g_{1} \circ g_{2})

则 $Π$ 就是同构映射, 并且称 $G, G^{'}$ 是同构的。

显然 $U (1), S O (2)$ 是同构的。

注意, 我们没有讨论 $S U (1)$ , 因为 $d e t (U) = 1$ 得到 :

S U (1) = 1

即 $S U (1)$ 只包含单位元，是一个平凡群。

3 $3 D R o t a t i o n$ (三维旋转群)

3.1 $O (3)$ 和 $S O (3)$

Note

$O (3)$ : 满足 $O^{T} O = I$

$S O (3)$ : 满足 $d e t (O) = 1$ 的 $O (3)$ 群

$S O (3)$ 群的基：

R_{x} = (\begin{matrix} 1 \\ c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \end{matrix}), R_{y} = (\begin{matrix} c o s θ & + s i n θ \\ 1 \\ - s i n θ & c o s θ \end{matrix}) . R_{z} = (\begin{matrix} c o s θ & - s i n θ \\ s i n θ & c o s θ \\ 1 \end{matrix}) .

3.2 $S U (2)$ 和四元数

定义三个虚数单位：

i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1

于是任意四元数 $q (q u a t e r n i o n)$ 可以表示为：

q = a + b i + c j + d k

定义四元数之间的乘法：

ijk = - 1

这个定义和 $i^{2} = j^{2} = k^{2} = - 1$ 导致轮换性（注意轮换性和交换律不同），即：

ij = k, jk = i, ki = j, jki = - 1, \dots

定义单位四元数满足：

q^{†} q = 1

四元数单位的复矩阵表述（也可以用四维实矩阵）：

\begin{array}{ll} 1 = (\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), i = (\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{array}) \\ j = (\begin{array}{ll} 0 & i \\ i & 0 \end{array}), k = (\begin{array}{cc} i & 0 \\ 0 & - i \end{array}) \end{array}

不难验证上式满足四元数乘法。这样任意一个四元数都可用矩阵表示为：

q = a 1 + b i + c j + d k = (\begin{array}{cc} a + d i & b + c i \\ - b + c i & a - d i \end{array})

由上式可见

\det (q) = a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = q^{†} q = 1

单位四元数对应的 $2 \times 2$ 复数矩阵 $U$ 满足：

U^{†} U = 1, \det (U) = 1

Note

$S U (2)$ ： $\forall$ 单位四元数都唯一对应 $S U (2)$ 群中的一个群元。

3.3 $S O (3)$ 和 $S U (2)$

将三维向量 $\vec{v} = (x, y, z)$ 定义为如下四元数：

v \equiv x i + y j + z k

将旋转变换表示为（ $U$ 为单位四元数）：

v^{'} = U^{- 1} v U = U^{†} v U

例如绕 $z$ 轴旋转和任意三维向量的矩阵形式为：

\begin{matrix} U_{z} (θ) = 1 c o s θ + k s i n θ = [\begin{matrix} c o s θ + i s i n θ \\ c o s θ - i s i n θ \end{matrix}] = [\begin{matrix} e^{i θ} \\ e^{- i θ} \end{matrix}], \\ \vec{v} = v_{x} i + v_{y} j + v_{z} k = [\begin{matrix} i v_{z} & v_{x} + i v_{y} \\ - v_{x} + i v_{y} & - i v_{z} \end{matrix}] \end{matrix}

注意，这导致的旋转角将是 $S O (3)$ 的两倍。

双覆盖

$S U (2)$ 称为 $S O (3)$ 群的双覆盖，因为可以找到两个 $S U (2)$ 群元对应一个 $S O (3)$ 群元。这是因为 $S O (3)$ 的旋转角只有 $S U (2)$ 的一半，而旋转角有 $2 π$ 的周期。

4 $L i e A l g e b r a$ (李代数)

Lie 代数研究连续对称性

4.1 $S i m p l e D e f i n i t i o n$ (简要定义)

无限小变换根据 $T a y l o r$ 展开表示为：

g (ϵ) = 1 + ϵ X

$X$ 称为生成元。对于有限旋转 $θ = N ϵ, N \to \infty$ :

R (θ) = {[g (\frac{θ}{N})]}^{N} = l i m_{N \to \infty} {(1 + \frac{θ X}{N})}^{N} = e^{θ X}

即有限旋转都可以由 $e$ 指数表示。

Lie 代数

群元是 $n \times n$ 矩阵 $L i e$ 群 $G$ 对应的的 $L i e$ 代数 $g$ 是满足如下条件的 $n \times n$ 矩阵 $X$ 的集合:

e^{t g} \in G, t \in R

$L i e$ 群 $G$ 的乘法与 $L i e$ 代数 $g$ 结合法则由 $B a k e r - C a m p b e l l - H a u s d o r f f$ 公式描述：

\underset{\in G}{\underset{⏟}{g}} \circ \underset{\in G}{\underset{⏟}{h}} = e^{X} \circ e^{Y} = e x p {X + Y + \frac{1}{2} [X, Y] + \frac{1}{12} [X, [X, Y]] - \frac{1}{12} [Y, [X, Y]] + \dots}

"[...]" 表示对易子或者说 $L i e$ 括号。

注意，对于 $L i e$ 代数的生成元，对易子封闭，而群乘法不具有封闭性： $\forall X, Y \in g, [X, Y] \in g, X \circ Y \notin g$ . 这与 Lie 群不同。

4.2 $S O (3)$ 的生成元

根据 $S O (3)$ 群的定义：

O^{T} O = I, d e t (O) = 1

以及任意群元 $O$ 对应的生成元 $J$ ：

O = e^{θ J}

得到 $J$ 满足：

J = - J^{T}, t r (J) = 0

第一个式子来自于 $O^{T} O = I$ ，并使用了 $[J^{T}, J] = 0$ （限制 $J \in$ 正规矩阵），第二个式子来自于 $d e t (O) = 1$ ，并使用了 $d e t (e^{A}) = e^{t r (A)}$ .

满足上式的三个线性无关的基是：

J_{x} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), J_{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}), J_{z} = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

显然，将 $S O (3)$ 的三个基取 $θ \to 0$ 留下一阶部分，再除以 $θ$ 就是上式。

$J$ 满足对易关系：

[J_{i}, J_{j}] = ϵ_{i j k} J_{k}

类似的， $S O (2)$ 的生成元是：

J (S O (2)) = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

容易利用 $e^{θ J}, c o s (θ J), s i n (θ J)$ 的 $T a y l o r$ 展开，从而由上式得到 $S O (2)$ 群元的矩阵形式就是二维旋转矩阵。

将 $J$ 乘以 $i ℏ$ ，就得到量子力学里生成元 (厄米矩阵，本征值为实数)。此时对易条件变为：

[J_{i}, J_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} J_{k}

4.3 $A b s t r a c t D e f i n i t i o n$ (李代数的抽象定义)

Lie 代数

$L i e$ 代数是一个向量空间 $g$ ，并配备一个二元运算 $[. . .]$ : $g \times g \to g$ , [...] 满足如下公理:

双线性: $\forall a, b \in R, \forall X, Y, Z \in g, [a X + b Y, Z] = a [X, Z] + b [Y, Z], [Z, a X + b Y] = a [Z, X] + b [Z, Y]$ ;
反交换律: $\forall X, Y \in g, [X, Y] = - [Y, X]$ ;
Jacobi 恒等式: $\forall X, Y, Z \in g, [X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y]] + [Y, [Z, X]] = 0$ .

对易子、 $P o i s s o n$ 括号满足上述二元运算的定义。

注意，以上抽象定义的 $L i e$ 代数完全不依赖于 $L i e$ 群。

4.4 $S U (2)$ 的生成元和群元

设 $S U (2)$ 的生成元 $J$ 满足 $U = e^{i θ J}$ ，得到：

J^{†} = J, t r (J) = 0

满足这两个条件的基可以取为 $P a u l i$ 矩阵：

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}),

令 $J_{i} = \frac{ℏ}{2} σ_{i}$ ，它也满足上述两个要求, 并且有对易条件：

[J_{i}, J_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} J_{k}

这与 $S O (3)$ 一致。

将其还原回 $L i e$ 群群元, 先定义旋转轴为单位向量 $\hat{n} = (n_{x}, n_{y}, n_{z})$ ，旋转角度为 $θ$ ，则群元可以写为：k

U (\hat{n}, θ) = e^{i \frac{θ}{2} (\vec{n} \cdot \vec{σ})},

其中 $\vec{n} \cdot \vec{σ} = n_{x} σ_{x} + n_{y} σ_{y} + n_{z} σ_{z}$ 。 $T a y l o r$ 展开为：

U (\hat{n}, θ) = \cos (\frac{θ}{2}) I + i \sin (\frac{θ}{2}) (\vec{n} \cdot \vec{σ}) .

于是关于 $x, y, z$ 方向旋转的群元分别为：

\begin{array}{l} U_{x} (θ_{x}) = \cos (\frac{θ_{x}}{2}) I + i \sin (\frac{θ_{x}}{2}) σ_{x} = (\begin{array}{c} \cos (\frac{θ_{x}}{2}) & i \sin (\frac{θ_{x}}{2}) \\ i \sin (\frac{θ_{x}}{2}) & \cos (\frac{θ_{x}}{2}) \end{array}) \\ U_{y} (θ_{y}) = \cos (\frac{θ_{y}}{2}) I + i \sin (\frac{θ_{y}}{2}) σ_{y} = (\begin{array}{c} \cos (\frac{θ_{y}}{2}) & \sin (\frac{θ_{y}}{2}) \\ - \sin (\frac{θ_{y}}{2}) & \cos (\frac{θ_{y}}{2}) \end{array}) \\ U_{z} (θ_{z}) = \cos (\frac{θ_{z}}{2}) I + i \sin (\frac{θ_{z}}{2}) σ_{z} = (\begin{array}{c} e^{i \frac{θ_{z}}{2}} & 0 \\ 0 & e^{- i \frac{θ_{z}}{2}} \end{array}) \end{array}

根据下式( 3.2 节)可以得到任意三维向量 $\vec{v}$ 在 $S O (3)$ 的旋转 :

v^{'} = U^{- 1} v U = U^{†} v U

\vec{v} = v_{x} i + v_{y} j + v_{z} k = [\begin{matrix} i v_{z} & v_{x} + i v_{y} \\ - v_{x} + i v_{y} & - i v_{z} \end{matrix}]

4.5 李群的抽象定义

L i e

群

$L i e$ 群是一个群, 也是一个微分流形。这个流形满足如下条件:

群乘法。诱导出的从流形到流形自身的映射必须是可微的。这称为相容性条件，它保证了群定义与流形定义的兼容。例如，群 $G$ 的任意群元 $a$ 诱导出了从 $G$ 到 $G$ 的映射：给定 $\forall b \in G ， c \equiv a \circ b \in G$ ，映射 $a : b \in G \to c \in G$ 必须是可微的。
流形中的任意点都有相应的坐标, 可以用坐标的语言表示上述内容: $c = a b$ 对应的坐标必须是 $b$ 的坐标的可微函数。

覆盖群

任一 $L i e$ 代数仅对应一个单连通 $L i e$ 群，该群称为覆盖群。（单连通：流形上任意闭合曲线可以平滑地收缩为流形中的一点）

比如满足 $[J_{i}, J_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} J_{k}$ 的 Lie 代数对应的覆盖群是 $S U (2)$ ，其流形是一个三维单位超球面 $S^{3}$ （四维球面），是单连通的，而 $S O (3)$ 是单位超球面的一半，是 $S U (2)$ 的商空间，非单连通。

总结：

\begin{matrix} S^{1} = U (1) \underset{同 构}{\underset{⏟}{⟷}} S O (2) \\ S^{3} = S U (2) \underset{覆 盖}{\underset{⏟}{⟶}} S O (3) \end{matrix}

5 表示论

群的表示

群 G 的一个表示 R 指的是从 G 到某个向量空间 V 上的全体线性变换组成的集合的映射： $R : \underset{\in G}{\underset{⏟}{g}} \to R (g)$

$R (g)$ 表示某个矩阵变换，比如矩阵乘法。称 $R$ 为同态映射，当：

$R (e) = I$ ，恒等群元对应恒等变换。
$R (g^{- 1}) = R^{- 1} (g)$ ，逆群元对应逆变换。
$R (g) \circ R (h) = R (g \circ h)$ ，变换的结合律。

例如，对于三维向量空间 $R^{3}$ ，旋转矩阵是 $S O (3)$ 的一种表示，或者说是 $S O (3)$ 到 $R^{3}$ 上全体旋转变换的同态映射。

下面给出一些定义：

不变子空间 V'

$\exists V^{'} \subset V, s . t . \forall v \in V^{'}, g \in G, 满足 R (g) v \in V^{'}$

子表示 R'

$R (g) v = R^{'} (g) v, \forall v \in V^{'}, g \in G$

不可约表示 R

R 不能分解为子表示，V 也不能分解成不变子空间

Casimir 元

Casimir 元（记作 C）对任意生成元 $X$ 都有

[C, X] = 0

Schur 引理

给定一个不可约群表示 $R : g \to G L (V)$ ，如果某个线性变换 $T : V \to V$ （即 $T \in G L (V)$ ）与所有 $R (g), \forall g \in G$ 对易，则 $T$ 必为恒等变换的常数倍。其中 $G L (V)$ 表示向量空间 V 上所有线性变换的集合。

6 $S U (2)$ 的深入讨论

6.1 $S U (2)$ 的不可约表示

回顾 $4.4$ 节, 已经得到：

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}), σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}), σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}), J_{i} = \frac{ℏ}{2} σ_{i} ， [J_{i}, J_{j}] = i ℏ ϵ_{i j k} J_{k} .

引入（升降算符）：

J_{\pm} = \frac{1}{\sqrt{2}} (J_{1} \pm i J_{2})

根据对易子性质得到:

\begin{matrix} [J_{3}, J_{\pm}] = [J_{3}, \frac{1}{\sqrt{2}} (J_{1} \pm i J_{2})] = [J_{3}, \frac{1}{\sqrt{2}} J_{1}] + [J_{3}, \pm \frac{1}{\sqrt{2}} i J_{2}] = \pm ℏ J_{\pm} \\ [J_{+}, J_{-}] = ℏ J_{3} \end{matrix}

注意, $S O (3)$ 中将定义中的 $\sqrt{2}$ 去掉, 即 $J_{\pm} = J_{1} \pm i J_{2}$ , 第三式将变为 $[J_{+}, J_{-}] = 2 ℏ J_{3}$ (多一个 $2$ ). 回顾 $S O (3)$ 的生成元以跟 $P a u l i$ 矩阵做对比:

J_{x} = i ℏ (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), J_{y} = i ℏ (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \end{matrix}), J_{z} = i ℏ (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

其升降含义是:

J_{3} v = λ v \to J_{3} (J_{\pm} v) = (λ \pm 1) (J_{\pm} v)

有限维空间中, $J_{3}$ 的本征值 $m$ 具有最大/小值 $- j$ 和 $j$ ( $j$ 为整数 or 半整数), 其对应的本征态矢量为 $v_{m a x} / v_{m i n}$ , 则:

J_{+} v_{m a x} = J_{-} v_{m i n} = 0

对应的 $2 j + 1$ 个本征态矢量张成了不变子空间 (或者称不可约表示空间), $J_{\pm}$ 为不可约表示.

若 $J_{3}$ 的本征值 $m$ 对应的本征态是 $| m ⟩$ , 则:

J_{\pm} | m ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ℏ \sqrt{j (j + 1) - m (m + 1)} | m + 1 ⟩

对于 $S O (3)$ , 需要将上式中的 $\sqrt{2}$ 去掉.

6.2 $S U (2)$ 的 $C a s i m i r$ 算符和群表示

$S U (2)$ 的 $C a s i m i r$ 算符恰好是 $J^{2} = \sum_{i = 1}^{3} J_{i}^{2}$ :

[J^{2}, J_{i}] = 0

根据 $J^{2} = \sum_{i = 1}^{3} J_{i}^{2} = J_{+} J_{-} + J_{-} J_{+} + J_{3}^{2}$ :

J^{2} v = j (j + 1) ℏ^{2} v

6.3 $S U (2)$ 的 $2 j + 1$ 维不可约群表示

我们以 $2 j + 1$ 作为群表示的维数, 可以区分不同维数的群表示 :

$S U (2)$ 的一维群表示是单位变换 $1$ , 对应的生成元是 $0$ . ( $p 59$ )

二维群表示是 $\frac{ℏ}{2} σ_{i}$ , 简要推导过程如下 : 可以看出 $J_{3}$ 的本征值是 $- \frac{1}{2} ℏ, \frac{1}{2} ℏ$ , 于是:

J_{3} = \frac{ℏ}{2} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

根据:

J_{\pm} | m ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} (J_{1} \pm i J_{2}) | m ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} ℏ \sqrt{j (j + 1) - m (m + 1)} | m + 1 ⟩

容易从 $| \pm j ⟩$ 之一递推求得 $J_{1, 2} = \frac{ℏ}{2} σ_{1, 2}$ .

三维群表示是类似的, 先根据 $J_{3}$ 的本征值是 $- ℏ, 0, ℏ$ , 得到:

J_{3} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

进一步可以递推得到:

J_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}), J_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} (\begin{matrix} 0 & - i & 0 \\ i & 0 & - i \\ 0 & i & 0 \end{matrix})

7 $O (1, 3)$ : $L o r e n t z G r o u p$ (洛伦兹群)

7.1 $D e f i n i t i o n$

Lorentz 群

Λ

洛伦兹群的作用对象是四维 $M i n k o w s k i$ 空间, 并且保持其内积不变: $x^{μ} \to x^{' μ} = Λ_{ν}^{μ} x^{ν} \Rightarrow x^{' μ} η_{μ ν} x^{' ν} = x^{μ} η_{μ ν} x^{ν}$

上述定义等价于:

Λ_{μ}^{σ} η_{σ ρ} Λ_{ν}^{ρ} = η_{μ ν}

或者写成矩阵形式 :

Λ^{T} η Λ = η

对上式取行列式可得：

\begin{aligned} \det (Λ) \underset{= - 1}{\underset{⏟}{\det (η)}} \det (Λ) = \underset{= - 1}{\underset{⏟}{\det (η)}} & \to \det (Λ)^{2} = 1 \\ \to \det (Λ) = \pm 1 \end{aligned}

取度规的 $μ = ν = 0$ 分量 :

\begin{array}{l} Λ_{0}^{σ} η_{σ ρ} Λ_{0}^{ρ} = \underset{= 1}{\underset{⏟}{η_{00}}} \\ \to & Λ_{0}^{σ} η_{σ ρ} Λ_{0}^{ρ} = {(Λ_{0}^{0})}^{2} - \sum_{i \neq 0} {(Λ_{0}^{i})}^{2} = 1 \\ \to & Λ_{0}^{0} = \pm \sqrt{1 + \sum_{i \neq 0} {(Λ_{0}^{i})}^{2}} \end{array}

根据上述两个约束的正负可以把 $L o r e n t z$ 群分成 $4$ 个分支。不涉及坐标反演的两个分支满足 $\det (Λ) = + 1$ .

S O (1, 3)^{↑}

满足 $\det (Λ) = 1$ 和 $Λ_{0}^{0} \geq 0$ 称为正规 $L o r e n t z$ 群 $S O (1, 3)^{↑}$ .

引入宇称变换和时间反演变换 :

Λ_{P} = d i a g (1, - 1, - 1, - 1), Λ_{T} = d i a g (- 1, 1, 1, 1)

于是 $O (1, 3)$ 可以表示为四个分支的集合:

O (1, 3) = {S O (1, 3)^{↑}, Λ_{P} S O (1, 3)^{↑}, Λ_{T} S O (1, 3)^{↑}, Λ_{P} Λ_{T} S O (1, 3)^{↑}}

7.2 $S O (1, 3)^{↑}$ 的生成元

考虑无穷小变换 :

Λ_{ρ}^{μ} = δ_{ρ}^{μ} + ϵ K_{ρ}^{μ}

使其满足 $Λ_{μ}^{σ} η_{σ ρ} Λ_{ν}^{ρ} = η_{μ ν}$ , 显然意味着 $\det (Λ) = 1, Λ_{0}^{0} = \sqrt{1 + \sum_{i \neq 0} {(Λ_{0}^{i})}^{2}}$ , 即对应 $S O (1, 3)^{↑}$ .

代入 $Λ_{μ}^{σ} η_{σ ρ} Λ_{ν}^{ρ} = η_{μ ν}$ , 并忽略 $ϵ^{2}$ 得到 :

\begin{matrix} K_{ρ}^{μ} η_{μ σ} + η_{ρ ν} K_{σ}^{ν} = 0 \\ o r : K^{T} η + η K = 0 \end{matrix}

英文中常常称 $L o r e n t z$ 变换为 "boost", 先考虑关于 $x$ 轴的 $b o o s t$ , 即 $y^{'} = y, z^{'} = z$ , 其生成元可以假设为 :

K_{x} = (\begin{matrix} \underset{记 作 k_{x}}{\underset{⏟}{(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})}} \\ (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \end{matrix})

代入 $K^{T} η + η K = 0$ 得到 :

K_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

类似的有 :

K_{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}), K_{z} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

根据 $Λ_{x} = e^{ϕ K_{x}}$ 可以得到 $L i e$ 群表示, 注意到 $k_{x}^{2} = I_{2 \times 2}$ :

\begin{aligned} Λ_{x} (ϕ) = e^{ϕ k_{x}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ϕ^{n} k_{x}^{n}}{n!} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ϕ^{2 n}}{(2 n)!} \underset{= 1}{\underset{⏟}{k_{x}^{2 n}}} + \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ϕ^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!} \underset{= k_{x}}{\underset{⏟}{k_{x}^{2 n + 1}}} \\ = (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ϕ^{2 n}}{(2 n)!}) I + (\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{ϕ^{2 n + 1}}{(2 n + 1)!}) k_{x} \\ = (\begin{array}{cc} \cosh (ϕ) & 0 \\ 0 & \cosh (ϕ) \end{array}) + (\begin{array}{cc} 0 & \sinh (ϕ) \\ \sinh (ϕ) & 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{cc} \cosh (ϕ) & \sinh (ϕ) \\ \sinh (ϕ) & \cosh (ϕ) \end{array}) \end{aligned}

即 :

Λ_{x} (ϕ) = (\begin{array}{cc} ch ϕ & sh ϕ \\ sh ϕ & ch ϕ \\ 1 \\ 1 \end{array})

7.3 $O (1, 3)$ 的生成元

从 $7.1$ 节已知 :

Λ_{P} = d i a g (1, - 1, - 1, - 1), Λ_{T} = d i a g (- 1, 1, 1, 1)

O (1, 3) = {S O (1, 3)^{↑}, Λ_{P} S O (1, 3)^{↑}, Λ_{T} S O (1, 3)^{↑}, Λ_{P} Λ_{T} S O (1, 3)^{↑}}

$Λ_{P} S O (1, 3)^{↑}$ 的生成元 $K_{i (P)}, i = x / y / z$ 可由 $S O (1, 3)^{↑}$ 的生成元计算得到 :

Λ_{P} S O (1, 3)^{↑} : K_{(P)}^{α^{'} β^{'}} = (Λ_{p})_{α}^{α^{'}} K^{α β} (Λ_{p})_{β}^{β^{'}} = Λ_{p} K (Λ_{p})^{T} = - K

类似的 :

\begin{array}{l} Λ_{T} S O (1, 3)^{↑} : K_{(T)}^{α^{'} β^{'}} = - K \\ Λ_{P} Λ_{T} S O (1, 3)^{↑} : K_{(P T)}^{α^{'} β^{'}} = K \end{array}

相比之下, 无论是宇称变换还是时间反演, $J_{i}$ 都不会改变.

7.4 $S O (1, 3)^{↑}$ 的 $L i e A l g e b r a$

$S O (1, 3)^{↑}$ 的 $L i e$ 群元陈列如下 :

J_{x} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{matrix}), J_{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - i & 0 & 0 \end{matrix}), J_{z} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

K_{x} = (\begin{matrix} 0 & i & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}), K_{y} = (\begin{matrix} 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}), K_{z} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

注意上述六个矩阵都已乘以 $i$ , $J$ 为厄密矩阵, 而 $K$ 为对称矩阵. 可以得到其 $L i e A l g e b r a$ 是：

[J_{i}, J_{j}] = i ϵ_{i j k} J_{k}, [J_{i}, K_{j}] = i ϵ_{i j k} K_{k}, [K_{i}, K_{j}] = - i ϵ_{i j k} J_{k}

定义新的生成元 :

N_{i}^{\pm} = \frac{1}{2} (J_{i} \pm i K_{i})

带来的好处是对易运算得到封闭, $N^{+}$ 和 $N^{-}$ 对应的正是 $S U (2)$ 的生成元:

[N_{i}^{\pm}, N_{j}^{\pm}] = i ϵ_{i j k} N_{k}^{\pm}, [N_{i}^{\pm}, N_{j}^{\mp}] = 0

至此我们将 $S O (1, 3)^{↑}$ 拆成了两个 $S U (2)$ 的 $L i e A l g e b r a$ .

7.5 $S O (1, 3)^{↑}$ 的群表示

7.5.1 (1). $(0, 0)$ 表示

所谓 $(0, 0)$ 表示, 就是 $N^{+}$ 和 $N^{-}$ 都是 $1$ 维表示, 而这两者都是 $S U (2)$ 的生成元, 因此自然都是 $0$ , 对应的 $L i e$ 群元是单位元 $e^{0} = 1$ , 作用对象是洛伦兹标量(1-分量).

7.5.2 (2). $(\frac{1}{2}, 0)$ 表示

所谓 $(\frac{1}{2}, 0)$ 表示, 就是 $N^{+}$ 是 $2$ 维表示, 而 $N^{-}$ 是 $1$ 维表示, 显然:

N_{i}^{+} = \frac{1}{2} (J_{i} + i K_{i}) = \frac{σ_{i}}{2}, N_{i}^{-} = \frac{1}{2} (J_{i} - i K_{i}) = 0

于是得到:

J_{i} = \frac{1}{2} σ_{i}, K_{i} = - \frac{i}{2} σ_{i}

求 $L o r e n t z$ 群元, 比如绕 $x$ 轴旋转 :

R_{x} (θ) = e^{i θ J_{1}} = e^{i θ σ_{1} / 2} = (\begin{matrix} \cos (\frac{θ}{2}) & i \sin (\frac{θ}{2}) \\ i \sin (\frac{θ}{2}) & \cos (\frac{θ}{2}) \end{matrix})

以及关于 $z$ 轴的 $b o o s t$ :

B_{1} (ϕ) = e^{i ϕ K_{1}} = e^{ϕ σ_{1} / 2} = (\begin{matrix} c h (\frac{ϕ}{2}) & s h (\frac{ϕ}{2}) \\ s h (\frac{ϕ}{2}) & c h (\frac{ϕ}{2}) \end{matrix})

7.5.3 (3). $(0, \frac{1}{2})$ 表示

类似的, 所谓 $(0, \frac{1}{2})$ 表示, 就是 $N^{+}$ 是 $1$ 维表示, 而 $N^{-}$ 是 $2$ 维表示, 同样:

N_{i}^{+} = \frac{1}{2} (J_{i} + i K_{i}) = 0, N_{i}^{-} = \frac{1}{2} (J_{i} - i K_{i}) = \frac{σ_{i}}{2}

得到:

J_{i} = \frac{1}{2} σ_{i}, K_{i} = \frac{i}{2} σ_{i}

这里的 $K_{i}$ 与 $(\frac{1}{2}, 0)$ 表示的结果相差一个负号, 隐含有宇称变换的意味.

7.5.4 (4). $V a n d e r W a e r d e n$ 符号

$W e y l$ 旋量

$(\frac{1}{2}, 0)$ 表示所作用的 $2$ 分量对象称为左手旋量, $(0, \frac{1}{2})$ 表示所作用的 $2$ 分量对象称为右手旋量, 它们统称为 $W e y l$ 旋量 :

χ_{L} = (\begin{matrix} (χ_{L})^{1} \\ (χ_{L})^{2} \end{matrix}), χ_{R} = (\begin{matrix} (χ_{R})^{1} \\ (χ_{R})^{2} \end{matrix})

它们也可以用 $V a n d e r W a e r d e n$ 符号表示 :

χ_{L} = χ_{a}, χ_{R} = χ^{\dot{a}}

上标 $\dot{a}$ 上的点表示取复共轭. 用二阶 $L e v i - C i v i t a$ 符号定义旋量度规为 :

ϵ^{α β} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) \to ϵ ϵ = - I, ϵ σ_{i}^{*} ϵ = σ_{i}, (ϵ^{a b})^{- 1} = ϵ_{a b} = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

再定义一个新的旋量( 上角标 $*$ 表示复共轭 ) :

χ_{L}^{C} = ϵ χ_{L}^{*}

在 $b o o s t : χ_{L} \to χ_{L}^{'} = e^{\vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2} χ_{L}$ 下, 看看这个新旋量的表现 :

\begin{array}{l} χ_{L}^{C} \to {χ^{'}}_{L}^{C} & = ϵ (χ_{L}^{'})^{*} \\ = ϵ (e^{\vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2} χ_{L})^{*} \\ = \underset{e^{- \vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2}}{\underset{⏟}{ϵ e^{\vec{ϕ} \cdot {\vec{σ}}^{*} / 2} (- ϵ)}} \underset{χ_{L}^{C}}{\underset{⏟}{(ϵ) χ_{L}^{*}}} \\ = e^{- \vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2} χ_{L}^{C} \end{array}

也就是说, $χ_{L}^{C}$ 如同右手旋量一样变换, 这表明它是右手旋量. 把其视为正常的右手旋量, 反过来定义一个新的左手旋量为 :

χ_{R}^{C} = - ϵ χ_{R}^{*}

显然旋量度规可以用作对 $V a n d e r W a e r d e n$ 符号升降指标的运算, 上述的定义的两个新的旋量就可以表示为 :

χ_{L}^{C} = ϵ χ_{L}^{*} \to χ^{\dot{a}} = ϵ^{a b} χ_{b}^{*} = ϵ^{a b} χ_{\dot{b}}

χ_{R}^{C} = - ϵ χ_{R}^{*} \to χ_{b} = (ϵ^{a b})^{- 1} (χ^{\dot{a}})^{*} = ϵ_{a b} χ^{a}

$χ_{L} = χ_{a}, χ_{R} = χ^{\dot{a}}$ 的 $L o r e n t z$ 变换形式根据 $W e y l$ 旋量的定义是显然的,

χ_{a} \to χ_{a}^{'} = {(e^{i \vec{θ} \cdot \vec{σ} / 2 + \vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2})}_{a}^{b} χ_{b}

χ^{\dot{a}} \to χ^{' \dot{a}} = {(e^{i \vec{θ} \cdot \vec{σ} / 2 - \vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2})}_{\dot{b}}^{\dot{a}} χ^{\dot{b}}

而 $χ_{\dot{a}}, χ^{a}$ 的 $L o r e n t z$ 变换形式可根据以上两式得到 :

χ_{\dot{a}} \to χ_{\dot{a}}^{'} = (χ_{\dot{a}}^{'})^{*} = {[{(e^{i \vec{θ} \cdot \vec{σ} / 2 + \vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2})}_{a}^{b}]}^{*} χ_{b}^{*} = {(e^{- i \vec{θ} \cdot {\vec{σ}}^{*} / 2 + \vec{ϕ} \cdot {\vec{σ}}^{*} / 2})}_{\dot{a}}^{\dot{b}} χ_{\dot{b}}

χ^{a} \to χ^{' a} = (χ^{' \dot{a}})^{*} = {(e^{- i \vec{θ} \cdot {\vec{σ}}^{*} / 2 - \vec{ϕ} \cdot {\vec{σ}}^{*} / 2})}_{b}^{a} χ^{b}

注意到 $σ_{i}^{†} = σ_{i}$ , 则可以证明 $χ^{a} χ_{a}$ 是 $L o r e n t z$ 不变量 :

(χ^{a})^{T} χ_{a} \to (χ^{' a})^{T} χ_{a}^{'} = (χ^{b})^{T} \overset{δ_{b}^{c}}{\overset{⏞}{\underset{{(e^{- i \vec{θ} \cdot \vec{σ} / 2 - \vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2})}_{b}^{a}}{\underset{⏟}{{[{(e^{- i \vec{θ} \cdot {\vec{σ}}^{*} / 2 - \vec{ϕ} \cdot {\vec{σ}}^{*} / 2})}_{b}^{a}]}^{T}}} {(e^{i \vec{θ} \cdot \vec{σ} / 2 + \vec{ϕ} \cdot \vec{σ} / 2})}_{a}^{c}}} χ_{c} = (χ^{c})^{T} χ_{c}

类似的, $χ_{\dot{a}}$ 与 $χ^{\dot{a}}$ 的结合也是 $L o r e n t z$ 不变量. 满足 :

(χ^{a})^{T} χ_{a} = χ_{a}^{T} ϵ^{a b} χ_{b}

也可以把 $L o r e n t z$ 变换的 $(\frac{1}{2}, 0)$ 和 $(0, \frac{1}{2})$ 表示写作 :

Λ_{(\frac{1}{2}, 0)} = Λ_{a}^{b} = {(e^{(i \vec{θ} + \vec{ϕ}) \cdot \vec{σ} / 2})}_{a}^{b}, Λ_{(0, \frac{1}{2})} = Λ_{\dot{a}}^{\dot{b}} = {(e^{(i \vec{θ} - \vec{ϕ}) \cdot \vec{σ} / 2})}_{b}^{a}

它们分别对应于左手旋量和右手旋量的 $L o r e n t z$ 变换. 注意:

加上旋转变换后, $L o r e n t z$ 变换矩阵不再对称.
上述变换的作用量是 2-分量, 不是四维时空的 4-分量, 后者对应的 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 表示可跳转至 #(5). $ left( frac{1}{2}, frac{1}{2} right)$ 表示与 $4 - t e n d o r$ .

旋量与宇称

根据 $7.3$ 节, 在宇称变换下, $J_{i} \to J_{i}, K_{i} \to - K_{i}$ , 而 :

N_{i}^{\pm} = \frac{1}{2} (J_{i} \pm i K_{i})

可见宇称变换下 $N_{i}^{+} \leftrightarrow N_{i}^{-}$ , 即 $(0, \frac{1}{2})$ 表示 $\leftrightarrow$ $(\frac{1}{2}, 0)$ 表示, 左手旋量 $\leftrightarrow$ 右手旋量. 可见要获得一个物理体系在宇称变换下的表现, 需要同时有左手和右手旋量( $W e y l$ 旋量). 定义 $D i r a c$ 旋量包含一个左手和一个右手旋量, 以及其在宇称变换下的表现 :

Ψ = (\begin{matrix} χ_{a} \\ ξ^{\dot{a}} \end{matrix}) \overset{宇称变换}{\leftrightarrow} Ψ^{P} = P Ψ = (\begin{matrix} ξ^{\dot{a}} \\ χ_{a} \end{matrix}), P = (\begin{matrix} 0 & I \\ I & 0 \end{matrix})

定义 $M a j o r a n a$ 旋量为一个左手旋量和与之对应的右手旋量的组合 :

Ψ_{M} = (\begin{matrix} χ_{a} \\ χ^{\dot{a}} \end{matrix})

注意这两个旋量不同于 $4 - t e n s o r$ , $D i r a c$ 旋量按照 $L o r e a t z$ 群的 $(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})$ 表示变换, 矩阵形式就是分块矩阵, 即 :

Ψ \overset{Lorentz 变换}{\to} Ψ^{'} = (\binom{χ_{L}^{'}}{ξ_{R}^{'}}) = Λ_{(\frac{1}{2}, 0) \oplus (0, \frac{1}{2})} Ψ = (\begin{array}{cc} Λ_{(\frac{1}{2}, 0)} & 0 \\ 0 & Λ_{(0, \frac{1}{2})} \end{array}) (\binom{χ_{L}}{ξ_{R}})

$c h a r g e c o n j u g a t i o n t r a n s f o r m a t i o n$ (电荷共轭变换)

前面提到, $χ_{L}^{C}$ 是右手旋量, $χ_{R}^{C}$ 左手旋量, 上角标 $C$ 表示 $c o n j u g a t i o n$ (共轭), 所以可以定义一个新的旋量 $Ψ^{C}$ :

Ψ = (\begin{matrix} χ_{L} \\ ξ_{R} \end{matrix}) \overset{charge conjugation 变换}{\to} Ψ^{C} = (\begin{matrix} ξ_{R}^{C} \\ χ_{L}^{C} \end{matrix}) = (\begin{matrix} ξ_{L} \\ χ_{R} \end{matrix})

$Ψ$ 和 $Ψ^{C}$ 是 $D i r a c$ 旋量, 满足相同的 $L o r e n t z$ 变换关系.

7.5.5 (5). $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 表示与 $4 - t e n d o r$

所谓 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 表示, 就是 $N^{+}$ 和 $N^{-}$ 都是 $2$ 维表示. 其作用的对象记作 $v_{a}^{\dot{b}}$ , 每个指标在独立的 $S U (2)$ $L i e$ 代数下变换.

采用 $V a n d e r W a e r d e n$ 符号组成任意的厄密矩阵 $v_{a \dot{b}}$ , 其可以在泡利矩阵和单位矩阵下展开:

v_{a \dot{b}} \overset{Δ}{=} (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) v_{0} + \sum_{i = 1}^{3} v_{i} σ_{i} = (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix})

根据前面的旋量在 $L o r e n t z$ 变换下的表达式, 可以得到 $v_{a \dot{b}}$ 在 $L o r e n t z$ 变换下的形式:

\begin{aligned} v \to v^{'} = v_{a \dot{b}}^{'} & = {(e^{i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{a}^{c} v_{c \dot{d}} {({(e^{- i \vec{θ} \frac{{\vec{σ}}^{*}}{2} + \vec{ϕ} \frac{{\vec{σ}}^{*}}{2}})}_{\dot{b}}^{\dot{d}})}^{T} \\ = {(e^{i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{a}^{c} v_{c \dot{d}} {(e^{- i \vec{θ} \frac{{\vec{σ}}^{†}}{2} + \vec{ϕ} \frac{{\vec{σ}}^{†}}{2}})}_{\dot{b}}^{\dot{d}} \\ σ^{†} = σ \to & = {(e^{i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \vec{σ}})}_{a}^{c} v_{c \dot{d}} {(e^{- i \vec{θ} \vec{σ} + \vec{ϕ} \vec{σ} \frac{\dot{σ}}{2}})}_{\dot{b}}^{\dot{d}} \end{aligned}

一个性质是, 厄密矩阵在 $L o r e n t z$ 变换后仍是厄米的, 反厄米也是如此, 即两者组成的集合都是不变子空间. 现在证明前者:

\begin{aligned} {({(e^{i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{a}^{c} v_{c \dot{d}} {(e^{- i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{\dot{b}}^{\dot{d}})}^{†} & = {({(e^{- i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{\dot{b}}^{\dot{d}})}^{†} v_{c \dot{d}}^{†} {({(e^{i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{a}^{c})}^{†} \\ = {(e^{i \vec{θ} \frac{{\vec{σ}}^{†}}{2} + \vec{ϕ} \frac{{\vec{σ}}^{†}}{2}})}_{\dot{b}}^{\dot{d}} v^{†} \dot{d} {(e^{- i \vec{θ} \frac{{\vec{σ}}^{†}}{2} + {\vec{ϕ}}^{{\vec{σ}}^{†}}})}_{a}^{c} \\ v_{c \dot{d}}^{†} = v_{c \dot{d}} \to & = {(e^{i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{\dot{b}}^{\dot{d}} v_{c \dot{d}} {(e^{- i \vec{θ} \frac{\vec{σ}}{2} + \vec{ϕ} \frac{\vec{σ}}{2}})}_{a}^{c} \end{aligned}

反厄米( $v^{†} = - v$ )是类似的, 只是上面证明中多一个负号. 另外, $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 表示的作用对象正是 $4 - t e n d o r$ :

v_{a \dot{b}} \overset{Δ}{=} (\begin{matrix} v_{0} + v_{3} & v_{1} - i v_{2} \\ v_{1} + i v_{2} & v_{0} - v_{3} \end{matrix}) \overset{Δ}{=} (v_{0}, \vec{v})^{T} = (v_{0}, v_{1}, v_{2}, v_{3})^{T}

证明思路如下: 由上面得到的 $v_{a \dot{b}}$ 在 $L o r e n t z$ 变换下的形式, 取 boost 为 $x, y, z$ 方向, 可以验证, 结果与 $4 - t e n d o r$ 的 $L o r e n t z$ 变换形式一致.

8 $P o i n c a r é G r o u p$ (庞加莱群)

8.1 无限小平移变换

考虑一个简单的平移变换 :

Φ (\vec{x}) \to Φ (\vec{x} + \vec{ϵ}) = Φ (\vec{x}) + ϵ \vec{\nabla} Φ (\vec{x})

其生成元就是动量算符, 加上虚数单位保证它是厄米的:

P_{i} = (- i \vec{\nabla})_{i} = - i \frac{\partial}{\partial x_{i}}

于是无限小平移变换写作:

Φ (\vec{x}) \to Φ (\vec{x} + \vec{ϵ}) = Φ (\vec{x}) + i ϵ P Φ (\vec{x})

任意大小的平移就可以表示为 $L i e$ 群作用于函数空间 $Φ (\vec{x})$ :

Φ (\vec{x}) \to Φ (\vec{x} + \vec{a}) = e^{i a^{i} P_{i}} Φ (\vec{x}) = e^{a^{i} \partial_{i}} Φ (\vec{x})

8.2 庞加莱群

洛伦兹群加上平移变换后, 就变成了的庞加莱群, 即:

P o i n c a r é G r o u p = L o r e n t z G r o u p + T r a n s l a t i o n (平 移) = r o t a t i o n + b o o s t + t r a n s l a t i o n

即对四维坐标 $x^{μ}$ 的庞加莱变换可以写作 :

x^{μ} \to x^{' ν} = (\begin{matrix} Λ_{μ}^{ν} & a^{μ} \\ 0 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x^{μ} \\ 1 \end{matrix}) o r x^{' ν} = Λ_{μ}^{ν} x^{μ} + a^{μ}

矩阵补上第二行只是为了保证变换矩阵是个方阵.

用 $J_{i}, K_{i}, P_{μ}$ 表示的 $L i e$ 代数为 :

\begin{aligned} [J_{i}, J_{j}] & = i ϵ_{i j k} J_{k} \\ [J_{i}, K_{j}] & = i ϵ_{i j k} K_{k} \\ [K_{i}, K_{j}] & = - i ϵ_{i j k} J_{k} \\ [J_{i}, P_{j}] & = i ϵ_{i j k} P_{k} \\ [J_{i}, P_{0}] & = 0 \\ [K_{i}, P_{j}] & = i δ_{i j} P_{0} \\ [K_{i}, P_{0}] & = - i P_{i} \end{aligned}

定义 Poincaré 群 $M_{μ ν}$ 为 :

{\begin{cases} J_{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} M_{j k} \\ K_{i} = M_{0 i} \end{cases} o r M_{μ ν} = {[\begin{matrix} 0 & K_{1} & K_{2} & K_{3} \\ - K_{1} & 0 & J_{3} & - J_{2} \\ K_{2} & - J_{3} & 0 & J_{1} \\ K_{3} & J_{2} & - J_{1} & 0 \end{matrix}]}_{(4 \times 4) \times (4 \times 4)}

于是用 $M_{μ ν}$ 表示的 $P o i n c a r é L i e$ 代数关系为：

\begin{aligned} [P_{μ}, P_{ν}] & = 0 \\ [M_{μ ν}, P_{ρ}] & = i (η_{μ ρ} P_{ν} - η_{ν ρ} P_{μ}) \end{aligned}

由定义式可得

[M_{μ ν}, M_{ρ σ}] = i (η_{μ ρ} M_{ν σ} - η_{μ σ} M_{ν ρ} - η_{ν ρ} M_{μ σ} + η_{ν σ} M_{μ ρ})

如果在位置表象下写庞加莱群, 它是:

M_{μ ν}^{\infty} = i (x_{μ} \partial_{ν} - x_{ν} \partial_{μ})

这也被称为 $P o i n c a r é$ 群的无穷维表示, 和三维角动量算符 $\vec{x} \times \vec{p}$ 类似, 可以把它理解为四维的角动量算符.

$P o i n c a r é$ 群有两个 $C a s i m i r$ 算符, 第一个是：

P_{μ} P^{μ} = m^{2}

这个标量值记作 $m^{2}$ , 它就是粒子质量.

第二个 $C a s i m i r$ 算符为 $W_{μ} W^{μ}$ , 其中 $W^{μ}$ 称为 $P a u l i - L u b a n s k i$ 四维向量 :

W^{μ} = \frac{1}{2} ϵ^{μ ν ρ σ} P_{ν} M_{ρ σ}

它对应的标量值是自旋, 记作 $j = j_{1} + j_{2}$ , 例如对于洛伦兹群, 其两个 $S U (2) L i e$ 代数对应 $j_{1}$ 和 $j_{2}$ . 即庞加莱群用两个标量予以标记: $m$ (质量, 可取任意值), $j$ (自旋, 取整数或者半整数).

9 基本粒子

庞加莱群是描述所有基本粒子的数学工具.

1 Group (群)

2 2D Rotation (二维旋转群)

2.1 O(2) 和 SO(2)

2.2 U(1)

2.3 U(1) 和 SO(2)

3 3D Rotation (三维旋转群)

3.1 O(3) 和 SO(3)

3.2 SU(2) 和 四元数

3.3 SO(3) 和 SU(2)

4 Lie Algebra (李代数)

4.1 Simple Definition (简要定义)

4.2 SO(3) 的生成元

4.3 Abstract Definition (李代数的抽象定义)

4.4 SU(2) 的生成元和群元

4.5 李群的抽象定义

5 表示论

6 SU(2) 的深入讨论

6.1 SU(2) 的不可约表示

6.2 SU(2) 的 Casimir 算符和群表示

6.3 SU(2) 的 2j+1 维不可约群表示

7 O(1,3): Lorentz Group (洛伦兹群)

7.1 Definition

7.2 SO(1,3)↑的生成元

7.3 O(1,3) 的生成元

7.4 SO(1,3)↑ 的 Lie Algebra

7.5 SO(1,3)↑ 的群表示

7.5.1 (1). (0,0) 表示

7.5.2 (2). (12,0) 表示

7.5.3 (3). (0,12) 表示

7.5.4 (4). Van der Waerden 符号

Weyl 旋量

旋量与宇称

charge conjugation transformation (电荷共轭变换)

7.5.5 (5). (12,12) 表示与 4−tendor

8 éPoincaré Group (庞加莱群)

8.1 无限小平移变换

8.2 庞加莱群

9 基本粒子

1 $G r o u p$ (群)

2 $2 D R o t a t i o n$ (二维旋转群)

2.1 $O (2)$ 和 $S O (2)$

2.2 $U (1)$

2.3 $U (1)$ 和 $S O (2)$

3 $3 D R o t a t i o n$ (三维旋转群)

3.1 $O (3)$ 和 $S O (3)$

3.2 $S U (2)$ 和四元数

3.3 $S O (3)$ 和 $S U (2)$

4 $L i e A l g e b r a$ (李代数)

4.1 $S i m p l e D e f i n i t i o n$ (简要定义)

4.2 $S O (3)$ 的生成元

4.3 $A b s t r a c t D e f i n i t i o n$ (李代数的抽象定义)

4.4 $S U (2)$ 的生成元和群元

6 $S U (2)$ 的深入讨论

6.1 $S U (2)$ 的不可约表示

6.2 $S U (2)$ 的 $C a s i m i r$ 算符和群表示

6.3 $S U (2)$ 的 $2 j + 1$ 维不可约群表示

7 $O (1, 3)$ : $L o r e n t z G r o u p$ (洛伦兹群)

7.1 $D e f i n i t i o n$

7.2 $S O (1, 3)^{↑}$ 的生成元

7.3 $O (1, 3)$ 的生成元

7.4 $S O (1, 3)^{↑}$ 的 $L i e A l g e b r a$

7.5 $S O (1, 3)^{↑}$ 的群表示

7.5.1 (1). $(0, 0)$ 表示

7.5.2 (2). $(\frac{1}{2}, 0)$ 表示

7.5.3 (3). $(0, \frac{1}{2})$ 表示

7.5.4 (4). $V a n d e r W a e r d e n$ 符号

$W e y l$ 旋量

$c h a r g e c o n j u g a t i o n t r a n s f o r m a t i o n$ (电荷共轭变换)

7.5.5 (5). $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ 表示与 $4 - t e n d o r$

8 $P o i n c a r é G r o u p$ (庞加莱群)