习题课1

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1. 作业(因为引用问题, web 版有乱码)

hw 2

张量计算几个的注意点:

Answer_hw2

(a)缩并

注意到 $Λ_{α}^{γ} Λ_{β}^{α} = δ_{β}^{γ}$ , 于是
$A^{α} B_{α} = Λ_{α}^{γ} B_{γ}^{'} Λ_{β}^{α} A^{^{'} β} = A^{^{'} β} B_{β}^{'}$
即缩并两个四维矢量得到一个洛伦兹标量.

tips 1:
注意到 $η^{α β} η_{α ρ} = δ_{ρ}^{β}$ , 于是 $A^{α} B_{α} = η^{α β} A_{β} η_{α ρ} B^{ρ} = A_{β} B^{β}$ , 这意味着可以将哑指标的上下位置随意调换.

tips 2:
有的同学可能会混淆 $Λ_{ν}^{μ}$ 和 $Λ_{α}^{β}$ , 已经知道:
$x^{μ} = Λ_{ν}^{μ} x^{' ν}$
那么
$x_{α} = η_{α μ} x^{μ} = η_{α μ} Λ_{ν}^{μ} x^{' ν} = η_{α μ} Λ_{ν}^{μ} η^{ν β} x_{β}^{'} = Λ_{α}^{β} x_{β}^{'}$
也就是说 $Λ_{ν}^{μ}$ 和 $Λ_{α}^{β}$ 其实分别对应于对逆变分量和协变分量的 $L o r e n t z$ 变换, 并且
$Λ_{α}^{β} = η_{α μ} Λ_{ν}^{μ} η^{ν β} = d i a g (1, - 1, - 1, - 1) [\begin{matrix} γ & γ β \\ γ β & γ \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] d i a g (1, - 1, - 1, - 1) = [\begin{matrix} γ & - γ β \\ - γ β & γ \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] = (Λ_{ν}^{μ})^{- 1}$
意味着两者的矩阵形式恰好互逆.

tips 3:
对于混合指标, 我们一般不提及他们的对称还是不对称, 比如我们很少说 $Λ_{ν}^{μ}$ 关于上标 $μ$ 和下标 $ν$ 是对称的(即使看起来是如此), 因为协变和逆变是两种不同的指标. 所以只说同类指标的对称性(比如 $η_{α β}$ 关于下指标对称).

有些时候(不常见), 在四维空间中, 如果一个混合形式的张量满足 $T_{α}^{β} = T_{α}^{β}$ , 我们才会说 $T$ 关于指标 $α$ 和 $β$ 对称, 这种情况成立仅当
$T_{α}^{β} = η_{α μ} T^{β μ} = η_{α μ} T^{μ β} = T_{α}^{β}$
时成立, 也就是 $T^{μ ν} = T^{ν μ}$ 关于两个上指标对称时才成立. 后面课程可能会接触到的能动张量, 它就满足这个性质, 这种情况下, 可以直接记 $T_{α}^{β} = T_{α}^{β} = T_{α}^{β}$ , 也就是说上下指标不必错位来写, 就像我们会写 $δ_{α}^{β}$ 而不是 $δ_{α}^{β}$ 或者 $δ_{α}^{β}$ 一样.

此外, 除非不得不涉及到一些数学证明, 才会非严格地说: $Λ = Λ^{T}$ , 这时最好把 $Λ$ 展开成具体矩阵形式, 并且小心操作为好.

tip4: 张量换序和缩并: 不能用简单的矩阵相乘来理解.

tip 5: 最好不要用下标法的情况, $\nabla$ 是否作用在不同向量(ex. $(\nabla \cdot \vec{A} \times \nabla) \vec{B}$ )

Answer_hw2

6. 麦克斯韦方程组的近似

(a)洛伦兹协变的电磁场

注意到
$\begin{array}{r} \vec{E} = γ ({\vec{E}}^{'} + β c {\vec{B}}^{'} \times {\vec{e}}_{x}) - \frac{γ^{2} β^{2}}{γ + 1} E_{x}^{'} {\vec{e}}_{x} \\ \vec{B} = γ ({\vec{B}}^{'} - \frac{β}{c} {\vec{E}}^{'} \times {\vec{e}}_{x}) - \frac{γ^{2} β^{2}}{γ + 1} B_{x}^{'} {\vec{e}}_{x} \end{array}$
以及
$\begin{aligned} \partial_{α} = Λ_{α}^{β} \partial_{β}^{'} \to \partial_{t} & = γ \partial_{t}^{'} - γ β c \partial_{x}^{'} \\ \nabla & = \nabla^{'} + {\vec{e}}_{x} [(γ - 1) \partial_{x}^{'} - \frac{γ β}{c} \partial_{t}^{'}] \end{aligned}$
假设带 ' 的 $m a x s w e l l$ 方程均被满足, 那么
$\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & = (\nabla^{'} + {\vec{e}}_{x} [(γ - 1) \partial_{x}^{'} - \frac{γ β}{c} \partial_{t}^{'}]) \cdot (γ ({\vec{E}}^{'} + β c {\vec{B}}^{'} \times {\vec{e}}_{x}) - \frac{γ^{2} β^{2}}{γ + 1} E_{x}^{'} {\vec{e}}_{x}) \\ = γ \nabla^{'} \cdot {\vec{E}}^{'} + γ β c (\nabla^{'} \times {\vec{B}}^{'})_{x^{'}} - \frac{γ^{2} β^{2}}{γ + 1} \partial_{x}^{'} E_{x}^{'} + [(γ - 1) \partial_{x}^{'} - \frac{γ β}{c} \partial_{t}^{'}] E_{x}^{'} \\ = γ \nabla^{'} \cdot {\vec{E}}^{'} + γ V [(\nabla^{'} \times {\vec{B}}^{'})_{x^{'}} - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial E_{x}^{'}}{\partial t^{'}}] \\ = 0 \end{aligned}$
同理可得
$\nabla \cdot \vec{B} = γ \nabla^{'} \cdot {\vec{B}}^{'} - \frac{γ β}{c} [\frac{\partial B_{x}^{'}}{\partial t^{'}} + (\nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'})_{x}] = 0$
$\nabla \times \vec{E} + \partial_{t} \vec{B} = {\begin{aligned} (\nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'})_{x} - V \nabla^{'} \cdot {\vec{B}}^{'} + \frac{\partial B_{x}^{'}}{\partial t^{'}} = 0 \\ (\nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'})_{y} + \frac{\partial B_{y}^{'}}{\partial t^{'}} = 0 \\ (\nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'})_{z} + \frac{\partial B_{z}^{'}}{\partial t^{'}} = 0 \end{aligned}$
$
\nabla \times \vec B - \frac{1}{c^2}\frac{ \partial \vec E }{ \partial t }

\left{
\begin{aligned}
&(\nabla' \times c^2\vec B'){x} + V \nabla' \cdot \vec E' - \frac{ \partial E_x' }{ \partial t' }=0
\
&(\nabla' \times c^2\vec B') - \frac{ \partial E_y' }{ \partial t' }=0
\
&(\nabla' \times c^2\vec B')_{z} - \frac{ \partial E_z' }{ \partial t' }=0
\end{aligned}
\right.
$

(b)伽利略协变的电磁场

伽利略变换下
${\begin{aligned} t & = t^{'} \\ x_{i} & = x_{i}^{'} + V_{i} t^{'} \end{aligned} \to \begin{array}{r} \frac{\partial x_{i}}{\partial t^{'}} = V_{i} (i = x, y, z), \frac{\partial t^{'}}{\partial t} = \frac{\partial x^{'}}{\partial x} = \frac{\partial y^{'}}{\partial y} = \frac{\partial z^{'}}{\partial z} = 1, \frac{\partial t}{\partial x_{i}^{'}} = 0 \end{array}$
于是有
$\nabla^{'} = {\vec{e}}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}^{'}} = {\vec{e}}_{i} [\frac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} + \frac{\partial t}{\partial x_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial t}] = \nabla$
$\frac{\partial}{\partial t^{'}} = \frac{\partial x_{j}}{\partial t^{'}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} + \frac{\partial t}{\partial t^{'}} \frac{\partial}{\partial t} = \vec{V} \cdot \nabla + \frac{\partial}{\partial t}$

如果不考虑电磁场的变换, 则
$\begin{aligned} 0 & = \nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'} + \partial_{t} {\vec{B}}^{'} \\ = \nabla \times \vec{E} + \vec{V} \cdot \nabla \vec{B} + \partial_{t} \vec{B} \end{aligned}$
如果 $\vec{E} = {\vec{E}}^{'} + {\vec{B}}^{'} \times \vec{V}$ , 则 ${\vec{E}}^{'} = \vec{E} - \vec{B} \times \vec{V}$ , 于是
$\begin{aligned} 0 & = \nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'} + \partial_{t^{'}} {\vec{B}}^{'} \\ = [\nabla \times \vec{E} - \nabla \times (\vec{B} \times \vec{V})] + [\vec{V} \cdot \nabla \vec{B} + \partial_{t} \vec{B}] \\ ⇓ \nabla \times (\vec{B} \times \vec{V}) = [(\vec{V} \cdot \nabla) + (\nabla \cdot \vec{V})] \vec{B} - [(\vec{B} \cdot \nabla) + (\nabla \cdot \vec{B})] \vec{V} = (\vec{V} \cdot \nabla) \vec{B}^{'} 先中间后外边^{'} \\ = [\nabla \times \vec{E} - \vec{V} \cdot \nabla \vec{B}] + [\vec{V} \cdot \nabla \vec{B} + \partial_{t} \vec{B}] \\ = \nabla \times \vec{E} + \partial_{t} \vec{B} \end{aligned}$

(c)洛伦兹协变的低速近似

对洛伦兹变换做一阶近似, $γ \approx 1 + \frac{1}{2} ϵ^{2} \approx 1$ :
$Λ_{ν}^{μ} = [\begin{matrix} γ & γ ϵ \\ γ ϵ & γ \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] \approx [\begin{matrix} 1 & ϵ \\ ϵ & 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}] \to {\begin{aligned} t & = t^{'} + \frac{v}{c^{2}} x^{'} \\ x & = x^{'} + v t^{'} \\ y & = y^{'} \\ z & = z^{'} \end{aligned} \to {\begin{aligned} \frac{\partial x}{\partial t^{'}} & = v \\ \frac{\partial t^{'}}{\partial t} & = \frac{\partial x^{'}}{\partial x} = \frac{\partial y^{'}}{\partial y} = \frac{\partial z^{'}}{\partial z} = 1 \\ \frac{\partial t}{\partial x^{'}} & = \frac{v}{c^{2}} \end{aligned}$
$⇓$
$\nabla^{'} = {\vec{e}}_{i} \frac{\partial}{\partial x_{i}^{'}} = {\vec{e}}_{i} [\frac{\partial x_{j}}{\partial x_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} + \frac{\partial t}{\partial x_{i}^{'}} \frac{\partial}{\partial t}] = (\frac{\partial}{\partial x} + \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) = \nabla + {\vec{e}}_{x} \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t}$
$\frac{\partial}{\partial t^{'}} = \frac{\partial x_{j}}{\partial t^{'}} \frac{\partial}{\partial x_{j}} + \frac{\partial t}{\partial t^{'}} \frac{\partial}{\partial t} = v \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t}$
于是
$\begin{aligned} \nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'} & = (\nabla + {\vec{e}}_{x} \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t}) \times (\vec{E} - \vec{B} \times v {\vec{e}}_{x}) \\ = \nabla \times (\vec{E} - \vec{B} \times \vec{v}) + \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ({\vec{e}}_{x} \times \vec{E} - {\vec{e}}_{x} \times \vec{B} \times v {\vec{e}}_{x}) \\ = \nabla \times (\vec{E} - \underset{⏟}{\vec{B} \times \vec{v}}) + \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ({\vec{e}}_{x} \times \vec{E}) - \frac{v^{2}}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ({\vec{e}}_{x} \times \vec{B} \times {\vec{e}}_{x}) \\ ⇓ \nabla \times (\vec{B} \times \vec{V}) = [(\vec{V} \cdot \nabla) + (\nabla \cdot \vec{V})] \vec{B} - [(\vec{B} \cdot \nabla) + (\nabla \cdot \vec{B})] \vec{V} = (\vec{V} \cdot \nabla) \vec{B} = v \partial_{x} \vec{B} \\ \approx \nabla \times \vec{E} - \overset{⏞}{v \partial_{x} \vec{B}} + \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} ({\vec{e}}_{x} \times \vec{E}) \\ \partial_{t^{'}} {\vec{B}}^{'} & = (v \frac{\partial}{\partial x} + \frac{\partial}{\partial t}) (\vec{B} + \vec{E} \times \frac{\vec{v}}{c^{2}}) \\ = \partial_{t} \vec{B} + v \partial_{x} \vec{B} + \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{E} \times {\vec{e}}_{x}) + \frac{v^{2}}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial x} \vec{E} \times {\vec{e}}_{x} \\ \approx \partial_{t} \vec{B} + v \partial_{x} \vec{B} + \frac{v}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} (\vec{E} \times {\vec{e}}_{x}) \end{aligned}$
注意上述推导中二阶项 $\frac{v^{2}}{c^{2}}$ 被忽略, 两者相加可得到法拉第定律是 $L o r e n t z$ 协变的:
$\begin{array}{r} 0 = \nabla^{'} \times {\vec{E}}^{'} + \partial_{t^{'}} {\vec{B}}^{'} = \nabla \times \vec{E} + \partial_{t} \vec{B} \end{array}$

(d)线性变换协变的电磁场

坐标变换矩阵可以写作:
$
\Lambda_{~\nu}^{\mu}

\begin{pmatrix}
A & B c & & \
D / c & C & & \
& & 1 & \
& & & 1
\end{pmatrix}
$于是电磁张量在该变换下保持协变的性质可以表述为 :$
\begin{array}{l}
F^{\mu \nu}= \Lambda_{~\alpha}^{\mu} F^{'\alpha \beta} \Lambda_{~\beta}^{\nu} \

\left(\begin{array}{cccc}
A & B c & & \
D / c & C & & \
& & 1 & \
& & & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
0 & -E_{x}^{\prime} / c & -E_{y}^{\prime} / c & -E_{z}^{\prime} / c \
E_{x}^{\prime} / c & 0 & -B_{z}^{\prime} & B_{y}^{\prime} \
E_{y}^{\prime} / c & B_{z}^{\prime} & 0 & -B_{x}^{\prime} \
E_{z}^{\prime} / c & -B_{y}^{\prime} & B_{x}^{\prime} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
A & D / c & \
B c & C & & \
& & 1 & \
& & & 1
\end{array}\right) \

\left(\begin{array}{cccc}
0 & (B D-A C) E_{x}^{\prime} / c & -A E_{y}^{\prime} / c-B c B_{z}^{\prime} & -A E_{z}^{\prime} / c+B c B_{y}^{\prime} \
-(B D-A C) E_{x}^{\prime} / c & 0 & -C B_{z}^{\prime}-D E_{y}^{\prime} / c^{2} & C B_{y}^{\prime}-D E_{z}^{\prime} / c^{2} \
A E_{y}^{\prime} / c+B c B_{z}^{\prime} & C B_{z}^{\prime}+D E_{y}^{\prime} / c^{2} & 0 & -B_{x}^{\prime} \
A E_{z}^{\prime} / c-B c B_{y}^{\prime} & -C B_{y}^{\prime}+D E_{z}^{\prime} / c^{2} & B_{x}^{\prime} & 0
\end{array}\right) \

\left(\begin{array}{cccc}
0 & -E_{x} / c & -E_{y} / c & -E_{z} / c \
E_{x} / c & 0 & -B_{z} & B_{y} \
E_{y} / c & B_{z} & 0 & -B_{x} \
E_{z} / c & -B_{y} & B_{x} & 0
\end{array}\right)
\end{array}
$即$
\left{
\begin{aligned}
E_{x} & =(AC - BD) E_{x}^{\prime} \
E_{y} & =A E_{y}^{\prime}+B c^{2} B_{z}^{\prime} \
E_{z} & =A E_{z}^{\prime}-B c^{2} B_{y}^{\prime}
\end{aligned}
\right.
\quad and \quad
\left{
\begin{aligned}
B_{x} & =B_{x}^{\prime} \
B_{y} & =C B_{y}^{\prime}-\frac{D}{c^{2}} E_{z}^{\prime} \
B_{z} & =C B_{z}^{\prime}+\frac{D}{c^{2}} E_{y}^{\prime}
\end{aligned}
\right.
$

hw 4

Answer_for_HW4

1. 带电半球受力

带电球电场:
$\vec{E} (r) = {\begin{array}{r} \frac{Q r}{4 π ϵ_{0} R^{3}} {\vec{e}}_{r}, r \leq R \\ \frac{Q}{4 π ϵ_{0} r^{2}} {\vec{e}}_{r}, r > R \end{array}$
得到:
$T_{i j} = ϵ_{0} E_{i} E_{j} - \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2} δ_{i j} \to T_{x z} = T_{y z} = 0, T_{z z} = - \frac{1}{2} ϵ_{0} E^{2}, a t z = 0$
$r \to \infty$ 时 $\int T \cdot d \vec{S} \to 0$ 忽略, 则:
$
\begin{aligned}
\vec F = \vec e_z \int T_{zz}dS_z
&=
\vec e_z \int_0^\infty \left( -\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 \right) (-2\pi r \mathrm{d} r)
\
&=
\vec e_z \int_0^R \epsilon_0 \left(\frac{Qr}{4\pi \epsilon_0 R^3}\right)^2 (\pi r \mathrm{d} r)

\vec e_z \int_R^\infty \epsilon_0 \left(\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\right)^2 (\pi r \mathrm{d} r)\
&=
\frac{3Q^2}{64 \pi \epsilon_0 R^2} \vec e_z
\end{aligned}
$

Answer_for_HW4

7. 场源不分离的极化场的电势

(a)

记源点 $\vec{r}$ , 场点 ${\vec{r}}^{'}$ , 相对位移 $\vec{R} = \vec{r} - {\vec{r}}^{'}$ , 于是单个电荷 $q, \vec{r}$ 在 $R_{0}$ 球内产生的平均电场可以写作
$\begin{aligned} {\vec{E}}_{a v e} (\vec{r}) & = \frac{1}{V^{'}} \int \frac{q (- {\vec{e}}_{R})}{4 π ϵ_{0} R^{2}} d V^{'} \\ ρ = - \frac{q}{V^{'}} \to & = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{ρ \vec{e_{R}}}{R^{2}} d V^{'} \\ = {\vec{E}}_{ρ} (\vec{r}) \end{aligned}$
等于均匀带电球在球内 $\vec{r}$ 产生的平均电场 ${\vec{E}}_{ρ}$ , 将 q 的数量增加到球内电荷的数目, 记每个电荷为 $q_{i}, {\vec{r}}_{i}$ , 产生的等效量是 ${\vec{E}}_{ρ i}, ρ_{i}$ , 于是由高斯定理和叠加原理得到:
$E_{ρ_{i}} \cdot 4 π r_{i}^{2} = \frac{ρ_{i}}{ϵ_{0}} \cdot \frac{4}{3} π r_{i} \to {\vec{E}}_{a v e} = \sum {\vec{E}}_{ρ i} = \sum \frac{ρ_{i} \cdot \frac{4}{3} π r_{i}^{3} {\vec{e}}_{r i}}{ϵ_{0} 4 π r_{i}^{2}} = - \frac{\sum q_{i} \vec{r_{i}}}{4 π ϵ_{0} R_{0}^{3}} = - \frac{\vec{p}}{4 π ϵ_{0} R_{0}^{3}}$
记极化强度 $\vec{P} = \frac{\vec{p}}{V^{'}}$ , 得到
${\vec{E}}_{a v e} = - \frac{\vec{P}}{3 ϵ_{0}}$

(b)

设 $\vec{P} = P {\vec{e}}_{z}$ , $\vec{p} = \vec{P} V$ 则 $σ_{p} = \vec{P} \cdot \vec{n} = P \cos θ$ , 求解:
$\nabla^{2} φ = 0$
已知边界条件:
${\begin{aligned} φ (r = 0) = 0 \\ φ (R_{0}^{-}) = φ (R_{0}^{+}) \\ \frac{\partial}{\partial r} φ (R_{0}^{-}) - \frac{\partial}{\partial r} φ (R_{0}^{+}) = \frac{σ_{p}}{ϵ_{0}} \\ φ (r ≫ R_{0}) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{r}}{4 π ϵ_{0} r^{3}} \end{aligned}$
得到:
$\begin{aligned} φ (r < R_{0}) & = \frac{1}{3 ϵ_{0}} P z \\ \vec{E} (r < R_{0}) & = - \nabla φ (r < R_{0}) = - \frac{\vec{P}}{3 ϵ_{0}} \end{aligned}$

(c)

由于 ${\vec{r}}^{'} ≫ \vec{r}$ , 球外电荷 ${\vec{r}}^{'}, q$ 在球内(遍历 $\vec{r}$ )的平均电场, 与场点 $\vec{r}$ 处的电场相同, 即球内电场近似均匀, 同时
$\begin{aligned} {\vec{E}}_{a v e} & = \frac{1}{V} \int \frac{q (- {\vec{e}}_{R})}{4 π ϵ_{0} R^{2}} d V \\ {\vec{r}}^{'} ≫ \vec{r}, \vec{R} = {\vec{r}}^{'} - \vec{r} \to & = \frac{q (- {\vec{e}}_{r}^{'})}{4 π ϵ_{0} r^{' 2}} \end{aligned}$
第二个等号只保留了零阶项, 即等于外部电荷在球心处的电场.

2. 诺特定理与对称性

2.0 前言

诺特定理描述了系统在某种全局变换下的对称性, 即在这些变换下作用量的变分(或者说作用量的极值与其对应的系统演化路径)保持不变时( $δ S = 0$ ), 可以找到一些守恒量.

在场的描述中, 诺特定理描述的变换是全局的, 也就是对于变换 $Φ \to Φ^{'} = Φ + δ Φ$ , $δ Φ$ 与时空坐标 $x^{μ}$ 无关, 因此他描述的是一种全局对称性. 还有一个名词, 内禀对称性, 他描述的是场在自身的自由度上的对称性, 因此也跟局域坐标无关, 是一种全局对称性. 通过让作用量的变分保持不变(也就是拉格朗日方程保持协变), 可以得到一些有趣的物理量, 他们保持守恒(称为守恒流或者诺特流).

另一个名词是规范对称性, 一般描述在局域变换下系统的 $δ S = 0$ 或者更强一点的条件: $δ L = 0$ . 也可以把内禀对称性视为规范对称的一部分(或者更准确地说: 规范对称性是内禀对称性的局域化). 另外, 要求拉氏量保持全局对称很轻松, 但要求其规范对称则相对比较困难, 因此会引入规范场(就是在原有的拉氏量上添加一些额外的洛伦兹标量作为规范项).

tau 的讲义上的诺特定理貌似基于是局域变换的(带参数), 比较复杂, 这里只考虑全局对称性. 另外由于规范理论会覆盖掉一些诺特定理的部分, 因此这里只呈现一些简单的内容, 剩下的交给唐助教.

2.1 自由粒子

这一部分在理论力学教材上有写, 不过它的写法有些臃肿.

2.1.1 守恒流

拉格朗日量的非唯一性告诉我们, 如果拉氏量加上一个函数 $G (q, t)$ 对于时间的全导数 $L \to L + \frac{d G}{d t}$ (此变化记作 $Δ$ ), 将使得作用量不变:

Δ S = \int d t Δ L = {G (q (t), t) |}_{t_{1}}^{t_{2}} = c o n s t .

即变换前后, 作用量 $S$ 只相差一个常数项, 那么变分 $δ S = δ (S + Δ S)$ , 将得到相同的运动方程(欧拉-拉格朗日方程). 因此, 对于无限小变换 $q (t) \to q (t) + δ q (t)$ , 仍有 $δ q (t_{1}) = δ q (t_{2}) = 0$ 和 $δ \dot{q} = \frac{d}{d t} δ q$ , 我们只需要:

δ L = Δ L = \frac{d G}{d t}

即:

\begin{array}{l} \frac{d G}{d t} & = \frac{\partial L}{\partial q} δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} δ t \\ = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}) δ q + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ \dot{q} + \frac{\partial L}{\partial t} δ t \\ = \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q + \int^{t} \frac{\partial L}{\partial t} δ t d t) \end{array}

就能得到一个守恒量:

J = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q - G + \int^{t} \frac{\partial L}{\partial t} δ t d u

它被称为守恒流, 因为 $\frac{d J}{d t} = 0$ . 他是一个带时间参数 $δ t$ 的守恒流, 如果拉氏量没有对 $t$ 的显式依赖的画, 积分项就可以直接舍去, 不过都不影响后续的讨论.

2.1.2 时空平移

时间对称性

对于无限小时间平移 $t \to t + ϵ$ 不变性, 对应于 $q (t) \to q (t + ϵ) = q (t) + \dot{q} (t) ϵ$ , $δ q = \dot{q} (t) ϵ$ ,

δ L (q (t), \dot{q} (t), t) = (\frac{\partial L}{\partial q} \frac{d q}{d t} + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \frac{d \dot{q}}{d t} + \frac{\partial L}{\partial t}) δ t = \frac{d L}{d t} δ t = \frac{d G}{d t}

由于 $δ t = ϵ = c o n s t .$ , 故可取 $G = ϵ L$ , 再若 $L$ 不显含 $t$ , 就得到哈密顿量 $H$ 是守恒量:

J_{H} = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} δ q - ϵ L = c o n s t . \to H \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dot{q} - L = c o n s t .

而且从 $L$ 到 $H$ 的变换就是勒让德变换.

注意, 在理论力学中我们知道:

\frac{d H}{d t} \overset{p o i s s o n 括 号}{=} \frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}

所以 " $H$ 是守恒量" 与 " $H$ 不显含 $t$ ", " $L$ 不显含 $t$ " 等价, 这与上述的讨论是一致的.

空间对称性

对于无限小空间平移 $q_{α} (t) \to q_{α} (t) + ϵ_{α}$ 不变性, 取 $G = 0$ , 于是得到广义动量 $p_{α}$ 是守恒量:

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} δ q_{α} = c o n s t . \to p_{α} \equiv \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{α}} = c o n s t .

当然, $δ t = 0$ , 所以不必理睬 $\int^{t} \frac{\partial L}{\partial t} δ t d t$ , 该项自动为 $0$ .

2.1.3 旋转和 boost

旋转对称性

已知 $S O (3)$ 的生成元可以写作 $(J_{i})_{j k} = - ϵ_{i j k}$ , 于是欧氏空间无限小旋转可表述为 $q_{i} \to e^{\vec{θ} \cdot J_{i}} \cdot \vec{q} = [I + θ_{j} (J_{i})_{j k}] q_{k} = q_{i} - ϵ_{i j k} θ_{j} q_{k} = q_{i} + ϵ_{i j k} θ_{k} q_{j}$ , 取 $G = 0$ ，可得到角动量 $J_{r o t}$ 是守恒量:

\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} ϵ_{i j k} θ_{k} q_{j} = θ_{k} ϵ_{i j k} q_{j} p_{i} = \vec{θ} \cdot (\vec{p} \times \vec{q}) = c o n s t . \to J_{r o t} = \vec{q} \times \vec{p}

推动对称性

无限小 $b o o s t$ 时, 洛伦兹变换退化为伽利略变换, 举个例子: 考虑 $x$ 方向的 $b o o s t$ ,

\begin{array}{l} x = e^{\vec{ϕ} \cdot K} \cdot \vec{x} & = x + [\begin{array}{c} 0 & ϕ & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} t \\ x \\ 0 \\ 0 \end{array}] \\ = x + ϕ t \approx x + \tanh ϕ \cdot t \\ = x + β t (β = \frac{v}{c}) \end{array}

或者也可以直接对洛伦兹变换的双曲旋转形式做一阶近似:

[\begin{matrix} c h ϕ & s h ϕ \\ s h ϕ & c h ϕ \end{matrix}] \approx [\begin{matrix} 1 & ϕ \\ ϕ & 1 \end{matrix}] \approx [\begin{matrix} 1 & v \\ v & 1 \end{matrix}]

或者也可以类似旋转对称性的讨论, 利用洛伦兹群对应的生成元 $K$ , 可写作 $q_{i} \to q_{i} + ϕ_{j} (K_{i})_{j k} q_{k}$ , 都将得到一致的结论: $q_{α} \to q_{α} + v_{α} t$ , 以及 ${\dot{q}}_{α} \to {\dot{q}}_{α} + v_{α}$ 注意 $v_{α}$ 是一个常值小量而不是变量 ${\dot{q}}_{α}$ . 考虑一维情形 $q \to q + v t$ 以及一个简单的多自由粒子的拉氏量:

L = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i}^{2}

于是

δ L (q (t), \dot{q} (t), t) = \frac{\partial L}{\partial q} v t + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} v = \sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i} v = \frac{d G}{d t}

所以可以取 $G = \sum_{i} m_{i} q_{i} v$ , 得到:

\sum_{i} \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} δ q_{i} - \sum_{i} m_{i} q_{i} v \equiv \sum_{i} (p_{i} v t - m_{i} q_{i} v) = c o n s t . \to q_{c} = \frac{\sum_{i} m_{i} q_{i}}{\sum_{i} m_{i}} = \frac{\sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i} t}{\sum_{i} m_{i}}

即初始时刻质心位于原点的质心运动方程.

2.2 自由场

2.2.1 场的内禀对称性

考虑矢量场 $A^{μ} (x^{ν})$ , 拉氏函数的形式为 $L (A^{μ}, \partial_{ν} A^{μ})$ (不显含四维坐标是因为只考虑场的内禀对称性, 此时坐标变分 $δ x^{μ} = 0$ ). 在场本身的无穷小变换 $A^{μ} \to A^{' μ} = A^{μ} + δ A^{μ}$ , 拉氏函数的不变性可以表述为:

\begin{array}{l} 0 = δ L & = \frac{\partial L}{\partial A^{μ}} δ A^{μ} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} δ (\partial_{ν} A^{μ}) \\ = \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})}) δ A^{μ} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} \partial_{ν} δ A^{μ} \\ = \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} δ A^{μ}) \end{array}

定义 $N o t h e r$ 流 $J^{ν} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} A^{μ})} δ A^{μ}$ , 于是上式可以写作连续性方程:

\partial_{ν} J^{ν} = 0

记 $J^{ν} = (J^{0}, \vec{J})$ , 于是

\begin{matrix} \partial_{t} J^{0} = - \nabla \cdot \vec{J} \\ ↓ \\ \partial_{t} \int J^{0} d^{3} x = - \int \nabla \cdot \vec{J} d^{3} x = - \int \vec{J} \cdot d \vec{S} \end{matrix}

对全空间积分, 考虑到场不存在于无穷远处, 即无穷远处流的通量为 $0$ , 将得到守恒量:

\int J^{0} d^{3} x = \int \frac{\partial L}{\partial (\partial_{t} A^{μ})} δ A^{μ} d^{3} x = c o n s t .

如果场在自身的平移下保持不变(此时 $δ A^{μ}$ 退化为任意常数), 于是有正则动量(广义动量 $Π^{σ} = \int \frac{\partial L}{\partial (\partial_{σ} Φ)} d^{3} x$ )的时间分量守恒:

Π_{μ}^{t} = \int \frac{\partial L}{\partial (\partial_{t} A^{μ})} d^{3} x

2.2.2 时空平移

能动张量

考虑标量场 $Φ (x^{μ})$ , 拉氏函数的形式为 $L (Φ, \partial_{μ} Φ, x^{μ})$ , 其中总变分 $δ Φ$ 由两部分组成：坐标变换引起的 $L i e$ 导数项和场的内禀变分 $Ψ$ 。其一般形式为：

δ Φ = Ψ - δ x^{μ} \partial_{μ} Φ

对于纯坐标变换, 内禀变分 $Ψ = 0$ , 此时 $δ Φ = - δ x^{μ} \partial_{μ} Φ$ ; 对于纯内部对称性(如 $U (1)$ 规范变换), 坐标变换生成元 $δ x^{μ} = 0$ , 此时 $δ Φ = Ψ$ . 负号来源于场移动方向与坐标变换 $δ x^{μ}$ 方向相反.

内禀分量 $Ψ$ 的具体形式取决于场 $Φ$ 所服从的内部对称性群及其表示. 例如, 对于非阿贝尔规范对称性 $S U (N)$ , 则 $Ψ$ 由群的生成元作用在场 $Φ$ 上,

Ψ^{α} = T^{α} Φ

其中, $T^{α}$ 是规范群的生成元矩阵( 如 $S U (2)$ 的泡利矩阵 $σ^{α} / 2$ ). 此时场的变分为,

δ Φ = ϵ^{a} \cdot Ψ^{a} = ϵ^{a} T^{a} Φ

或者用庞加莱群表示为,

δ Φ = ϵ^{μ ν} M_{μ ν} Φ

对应于规范变换 $Φ \to e^{\frac{ϵ^{μ ν}}{2} M_{μ ν}} Φ$ . $ϵ$ 为变换参数, 如旋转角度. 因此, 在时空平移 $x^{μ} \to x^{' μ} = x^{μ} + δ x^{μ}$ 下(纯坐标变换), 标量场 $Φ$ 的变换 $δ Φ$ 简化为,

δ Φ = - \partial_{μ} Φ δ x^{μ}

注意, $δ x^{μ}$ 为常量, 于是拉氏函数的不变性可以表述为,

\begin{array}{l} 0 = δ L & = \frac{\partial L}{\partial Φ} δ Φ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} δ (\partial_{ν} Φ) + \partial_{μ} L δ x^{μ} \\ = \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} δ Φ) + \partial_{μ} L δ x^{μ} \\ = - [\partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ δ x^{μ}) - \partial_{μ} L δ x^{μ}] \\ = - \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L) δ x^{μ} \end{array}

定义能动张量(混合指标形式) $T_{μ}^{ν} := \frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L$ , 于是,

\partial_{ν} T_{μ}^{ν} = \partial_{t} T_{μ}^{0} + \partial_{i} T_{μ}^{i} = 0

通过利用度规升降指标, 以及 $\frac{\partial L}{\partial (\partial^{μ} Φ)} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{α} Φ)} \frac{\partial (\partial_{α} Φ)}{\partial (\partial^{μ} Φ)} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{α} Φ)} g_{α μ}$ , 容易得到逆变形式: $T^{μ ν} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} \partial^{ν} Φ - g^{μ ν} L$ . 上式在无穷远处场为 $0$ , 所以在全空间中积分可得到 $4$ 个守恒量:

\begin{matrix} E = \int d^{3} x T_{0}^{0} \\ P_{i} = \int d^{3} x T_{i}^{0} \end{matrix}

2.2.3 诺特流

在旋转和推动变换下, $x^{μ} \to x^{' μ} = x^{μ} + δ x^{μ}$ 且 $δ x^{μ} = M^{μ σ} x_{σ}$ 是常值, 参见上一节, 有:

\begin{array}{cl} 0 = δ L & = - \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L) δ x^{μ} \\ = - \partial_{ν} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{ν} Φ)} \partial_{μ} Φ - δ_{μ}^{ν} L) M^{μ σ} x_{σ} \\ = - \partial_{ν} T_{μ}^{ν} M^{μ σ} x_{σ} \\ = - \partial_{ν} T^{μ ν} M_{μ σ} x^{σ} \\ M_{μ σ} = - M_{σ μ} \to & = - \frac{1}{2} (\partial_{ν} T^{μ ν} M_{μ σ} x^{σ} - \partial_{ν} T^{σ ν} M_{μ σ} x^{μ}) \\ = - \frac{1}{2} \partial_{ν} (T^{μ ν} x^{σ} - T^{σ ν} x^{μ}) M_{μ σ} \end{array}

定义 $N o t h e r$ 流 $(J^{ν})^{μ σ} = T^{μ ν} x^{σ} - T^{σ ν} x^{μ}$ , 上式可改写为,

\partial_{ν} (J^{ν})^{μ σ} = 0

或者

\begin{array}{l} 0 & = \partial_{ν} (T^{μ ν} x^{σ} - T^{σ ν} x^{μ}) \\ = T^{μ σ} + x^{σ} \partial_{ν} T^{μ ν} - T^{σ ν} - x^{μ} \partial_{ν} T^{σ ν} \\ = T^{μ σ} - T^{σ ν} \end{array}

这意味着诺特流的四维散度为零, 等同于能动张量对称.

2.2.4 旋转对称性

轨道角动量

与时空平移不同, 对于 $δ Φ = Ψ - δ x^{μ} \partial_{μ} Φ$ , 旋转将可能导致内禀变分 $Ψ$ 不为零(称为自旋).

暂时不考虑内禀对称性. 类似地, 在无穷远处场为 $0$ , 所以对诺特流在全空间中积分得到:

Q^{μ σ} = \int d^{3} x (J^{0})^{μ σ} = \int d^{3} x (T^{μ 0} x^{σ} - T^{σ 0} x^{μ})

是守恒量. 对于转动不变性, 可选取指标 $i, j \in {1, 2, 3}$ 的部分(对应于庞加莱代数的旋转生成元 $M_{i j}$ ), 已知旋转生成元 $J_{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} M_{j k}$ , 相应的有场的轨道角动量 ${\vec{L}}_{o r b i t}$ 是守恒量:

L_{o r b i t}^{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} Q^{j k} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} \int d^{3} x (T^{j 0} x^{k} - T^{k 0} x^{j}) = \int ϵ_{i j k} T^{j 0} x^{k} d^{3} x = \int d^{3} x (\vec{x} \times \vec{p})^{i}

自旋角动量~自旋角动量算符 *

这里先插入一个题外话, 已知 $M_{μ ν} = x_{μ} \partial_{ν} - x_{μ} \partial_{ν}$ 是庞加莱群中旋转和 $b o o s t$ 在无穷维表示下的生成元(当然不意外, $M$ 长得像个四维形式的角动量算符). 我们先说明一下旋转变换对应的变分: $δ Φ = \underset{自旋部分}{\underset{⏟}{ϵ^{i j} S_{i j} Φ}} + \frac{ϵ^{i j}}{2} \underset{轨道部分}{\underset{⏟}{(x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i})}} Φ$ (视为 $δ x^{μ} = 0$ , 主动观点, 变换的是场) 与上面一直用的 $δ Φ = \underset{自旋}{\underset{⏟}{Ψ}} \underset{轨道}{\underset{⏟}{- δ x^{i} \partial_{i} Φ}} = ϵ^{i j} S_{i j} Φ - ϵ^{i j} x_{j} \partial_{i} Φ$ ( $δ x^{i} = ϵ^{i j} x_{j}$ , 被动观点, 变换的是坐标系) 的等价性(前者的 $\frac{1}{2}$ 因子是由于庞加莱群的旋转子群是 $S O (3)$ 的双覆盖), 即在庞加莱对称性的框架下, 通过两种变分推导出的轨道角动量是同一个物理概念. 这点容易证明, 只需要注意到旋转参数 $ϵ^{i j} 反对称 \to \frac{ϵ^{i j}}{2} (x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i}) Φ = - ϵ^{i j} x_{j} \partial_{i} Φ$ , 即两者的轨道部分相同即可.

类似上面诺特流导出的方式, 由 $δ Φ = ϵ^{i j} (x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i}) Φ + ϵ^{i j} S_{i j} Φ$ 导出的守恒流为,

J^{μ} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} ϵ^{i j} (x_{i} \partial_{j} - x_{j} \partial_{i}) Φ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} ϵ^{i j} S_{i j} Φ

自旋角动量流对应第二项, 可以直接写出:

(J^{μ})_{spin}^{i j} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{μ} Φ)} S^{i j} Φ

积分得到自旋角动量:

L_{s p i n}^{i} = \frac{1}{2} ϵ_{i j k} \int d^{3} x \frac{\partial L}{\partial (\partial_{0} Φ)} S^{j k} Φ

最终将有场的总角动量 $L = L_{o r b i t} + L_{s p i n}$ 守恒.

2.2.5 推动对称性

从轨道角动量一节已经得到反对称张量 $Q^{μ σ} = \int d^{3} x (J^{0})^{μ σ} = \int d^{3} x (T^{μ 0} x^{σ} - T^{σ 0} x^{μ})$ 为守恒量, 并且在轨道角动量中借用了其空间分量, 同样有时间分量守恒:

Q^{0 i} = \int d^{3} x (J^{0})^{0 i} = \int d^{3} x (T^{00} x^{i} - T^{i 0} x^{0})

即:

\begin{aligned} 0 = \frac{\partial Q^{0 i}}{\partial t} & = \frac{\partial Q^{0 i}}{\partial x^{0}} \\ = \frac{\partial}{\partial t} \int d^{3} x T^{00} x^{i} - t \int d^{3} x \frac{\partial T^{i 0}}{\partial t} - \underset{= P^{i} = c o n s t .}{\underset{⏟}{\int d^{3} x T^{i 0}}} \\ ⟹ \frac{\partial E_{c}}{\partial t} & = t P^{i} = c o n s t . \end{aligned}

对应的是能量中心 $E_{c} = \int d^{3} x T^{00} x^{i}$ 以匀速运动. 这与之前的 $b o o s t$ 不变量 $q_{c} = \frac{\sum_{i} m_{i} q_{i}}{\sum_{i} m_{i}} = \frac{\sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i} t}{\sum_{i} m_{i}}$ 不同, $q_{c}$ 守恒是对多粒子系统的非相对性描述(因为推导所用的是非相对性拉氏量 $L = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} {\dot{q}}_{i}^{2}$ , 而不是相对性拉氏量 $L = \sum_{i} \frac{1}{γ_{i}} m_{i} c^{2}$ ), 而 $E_{c}$ 守恒是狭义相对论当中的描述, 此时能量中心和质心已经通过 $E = γ m_{0} c^{2}$ 构建了紧密的联系.

1. 作业(因为引用问题, web 版有乱码)

hw 2

Answer_hw2

(a)缩并

Answer_hw2

6. 麦克斯韦方程组的近似

(a)洛伦兹协变的电磁场

(b)伽利略协变的电磁场

(c)洛伦兹协变的低速近似

(d)线性变换协变的电磁场

坐标变换矩阵可以写作: $ \Lambda_{~\nu}^{\mu}

hw 4

Answer_for_HW4

1. 带电半球受力

Answer_for_HW4

7. 场源不分离的极化场的电势

(a)

(b)

(c)

2. 诺特定理与对称性

2.0 前言

2.1 自由粒子

2.1.1 守恒流

2.1.2 时空平移

时间对称性

空间对称性

2.1.3 旋转和 boost

旋转对称性

推动对称性

2.2 自由场

2.2.1 场的内禀对称性

2.2.2 时空平移

能动张量

2.2.3 诺特流

2.2.4 旋转对称性

轨道角动量

自旋角动量~自旋角动量算符 *

2.2.5 推动对称性

坐标变换矩阵可以写作:
$
\Lambda_{~\nu}^{\mu}