1. $Proca$ $field$ 普罗卡场

1.1 $FromProcaEquationtoMaxwel{l}^{\prime }sEquations$ 从普罗卡方程到麦克斯韦方程组

可跳转 Quantum Field Theory#3. Proca field. 本文采取的度规是(+---).

$Proca$ 场是经典场论中描述有质量的矢量玻色子的重要模型, 其核心方程($Proca$ 方程)扩展了麦克斯韦方程组(即引入了质量项).

首先, 尝试构造满足洛伦兹不变性的拉格朗日密度函数(强约束), 注意到拉氏函数是标量函数, 因此其每一项都是 $Lorentz$ 标量. 可能的不超过二阶的洛伦兹标量包括:

于是可以写出拉氏量的一般形式:

根据欧拉-拉格朗日方程 $\frac{\partial }{\partial x^{\mu }}\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }{A}^{\nu })}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A^{\nu }}=0$ (可以发现 ${\partial }^{\mu }{A}_{\mu }$ 这一项对运动方程没有影响), 得到:

一般取常数满足:

这被称为 $proca$ 方程, 其中 $m$ 为粒子质量. 取 $F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$ 是场强张量, 于是对应的拉氏密度可以写作 $\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }+\frac{1}{2}{m}^2{A}^{\mu }{A}_{\mu }$.

由于电磁场由自旋为 $1$ 且静止质量为 $0$ 的光子产生, 所以由 $m=0$ 的 $proca$ 场描述, 此时就得到电磁场的拉氏量为 ${\mathcal{L}}_{em}=-\frac{1}{4{\mu }_0}{F}^{\alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }$. 设 $A^{\mu }=(\frac{\varphi }{c},\overrightarrow{A})$, $proca$ 方程可以改写为

$F^{\mu \nu }$ 又被称为电磁张量, 上式也等价于描述自由场的麦克斯韦方程组的其中两个:

麦克斯韦方程组的另外两个方程, 实际上已经蕴含在电磁张量的定义$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$当中. 由于 $F^{\mu \nu }$ 和 ${ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }$ 均为反对称张量, 于是可以构造对偶张量 ${\tilde{F}}^{\mu \nu }=\frac{1}{2}{ϵ}^{\mu \nu \rho \sigma }{F}_{\rho \sigma }$, 根据 $F^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{A}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{A}^{\mu }$ 得到:

注意到

这意味着原表达式关于哑指标 $\rho \sigma$ 反对称相消, 因此

上式对应剩下的两个麦克斯韦方程:

当然, 如果考虑电荷的存在(非自由场), (参见 Quantum Field Theory#3.2 Field with charge)引入质点 $m_i$ 和四维电流 $j^{\mu }$, 也有:

这将为欧拉-拉格朗日方程引入新的项, 变成:

而另外一对方程对应着 ${\partial }_{\mu }{\tilde{F}}^{\mu \nu }=0$, 与电荷无关, 所以依旧成立.

1.2 $ElectromagneticFiel{d}^{\prime }sU(1)GaugeSymmetry$ 电磁场的 U(1) 规范

$U(1)$ 规范对称性是指: 对电磁场的四维势 $A_{\mu }$ 做如下变换时, 物理观测结果 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 保持不变:

其中 $f(x)$ 是任意标量函数. 这被称为电磁场的规范变换($Gaugetransformstion$), 该变换下场强张量 $F_{\mu \nu }$ 的变换为：

保持不变, 因此拉格朗日量 ${\mathcal{L}}_{\text{em}}$ 也不变.

2. $T^{\mu \nu }ofVacuumFreeEMF$ 真空自由场的能动张量

电磁张量可以写作:

于是拉氏量也可以显式地写为

根据 $T^{\mu \nu }=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial ({\partial }_{\mu }\mathrm{\Phi })}{\partial }^{\nu }\mathrm{\Phi }-g^{\mu \nu }\mathcal{L}$ 和上式第一个等号, 可以计算得到

遗憾的是, 这个形式并不对称, 因而不能让诺特流满足 ${\partial }_{\nu }(J^{\nu }{)}^{\mu \sigma }=0$ (参见 Nother's Theorem and Symmetry#诺特流), 需要对其加以修正.

3. $Symmetriccorrection$ 对称性修正

注意到 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }=0$, 而由于 $F^{\mu \lambda }$ 是反对称张量, 使得 ${\partial }_{\lambda }(F^{\mu \lambda }{A}^{\nu })$ 恰好也满足 ${\partial }_{\mu }{\partial }_{\lambda }(F^{\mu \lambda }{A}^{\nu })=0$.

于是可做修正 $T^{\mu \nu }\to T^{\mu \nu }+\frac{1}{{\mu }_0}{\partial }_{\lambda }(F^{\mu \lambda }{A}^{\nu })$, 使得旧的 $T^{\mu \nu }=-\frac{1}{{\mu }_0}{F}^{\mu \lambda }{\partial }^{\nu }{A}_{\lambda }+\frac{1}{4{\mu }_0}{g}^{\mu \nu }{F}^{\alpha \beta }{F}_{\alpha \beta }$ 的第一项对称(进而 $T^{\mu \nu }$ 对称), 得到新的能动张量可以改写为:

两项都是两个反对称张量的缩并, 结果自然对称(度规对称时). 在闵氏度规 $(+,-,-,-)$ 下展开得到具体形式:

其中 $\overrightarrow{S}$ 是能流密度(波印廷矢量), $\overrightarrow{P}$ 是场的动量密度.

4. $Continuityequations$ 连续性方程

在非自由电磁场中, 由于场与粒子相互作用, 使得场的四维散度 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }\ne 0$, 利用有源 $maxwell$ 方程组

可以得到 ${\partial }_{\mu }{T}^{\mu \nu }$是:

其中 $E_{em}=\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2+\frac{B^2}{{\mu }_0})$ 为场的能量密度, $\mathit{T}=-(T^{ij})=-\frac{1}{2}({ϵ}_0{E}^2-\frac{B^2}{{\mu }_0})\mathit{I}+({ϵ}_0\overrightarrow{E}\overrightarrow{E}+\frac{\overrightarrow{B}\overrightarrow{B}}{{\mu }_0})$ 是 $maxwell$ 应力张量. $f^{\mu }=(\frac{1}{c}{f}^0,\overrightarrow{f})$ 为四维洛伦兹力, 其时间部分 $f^0=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{E}$ 是电磁场对粒子做的功(同时也是场的能量密度的损失速度), 空间部分 $\overrightarrow{f}=\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{B}+\rho \overrightarrow{E}$ 是所谓的洛伦兹力(或者说场的动量密度损失).

上述关系也可以写成更简洁的形式:

四维洛伦兹力因此也可以记作: