HW6 Answer

1 《电磁学与电动力学》(下册)

8.5,8.7~8.12

注意到 $(\frac{ω}{c}, k)$ 构成4-矢量，并且光满足 $k c = ω$ ，接下来直接用 Lorentz Transformation 就可以得到相对论多普勒频移公式

2 补充题

2.1

2.1.1

利用电磁张量的两个不变量，有如下结论

2.1.2

掏出电磁场洛伦兹变换

寻找一个速度 $v$ 让E和B叉乘为0，假设

β = \frac{E \times B}{| E \times B |} β

Lorentz Transformation变为

E_{∥} = B_{∥} = 0, E^{'} = γ (E + β \times c B), c B^{'} = γ (c B - β \times E)

直接硬算得到

E^{'} \times c B^{'} = E \times c B - β E^{2} - β c^{2} B^{2} + (β \cdot E \times c B) β ≜ 0

接下来代入 $β = \frac{E \times B}{| E \times B |} β$ 发现

| E \times c B | β^{2} - (E^{2} + c^{2} B^{2}) β + | E \times c B | = 0

所以根据 $(E^{2} + c^{2} B^{2}) \geq | E \times c B |$ ，不难发现 $f (β) = | E \times c B | β^{2} - (E^{2} + c^{2} B^{2}) β + | E \times c B |$ 在 $β \in [0, 1]$ 为递减函数，只需要证明 $f (β_{0}) = 0, \exists β_{0} \in [0, 1]$ 即可，容易发现 $f (0) > 0, f (1) < 0$ ，所以该 $β_{0}$ 存在，为

β_{0} = \frac{(E^{2} + c^{2} B^{2}) - \sqrt{(E^{2} + c^{2} B^{2})^{2} - 4 | E \times c B |^{2}}}{2 | E \times c B |}