1 《电磁学与电动力学》（下册）

8.4 可以借助最后一个思考题来解决

四维速度 $U^{\mu }$ 和四维加速度 $A^{\mu }$ 定义为 $U^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=(\gamma c,\gamma \mathit{v})⟹U^{\mu }{U}_{\mu }=-c^2$，$A^{\mu }=\frac{\mathrm{d}{U}^{\mu }}{\mathrm{d}\tau }=\gamma \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\gamma c,\gamma \mathit{v})=(\gamma \beta a,\gamma \mathit{a})⟹A^{\mu }{A}_{\mu }=a^2$。

前三年，运动的兄弟的世界线满足双曲关系

这里的 $a=g$，对 $U^{\mu }{U}_{\mu }=-c^2$，假设其参数化为

设 $\tau =0$ 时 $\varphi =0$ 积分得到：

所以 $U^0=c\cosh \left(\frac{a\tau }{c}\right),U^1=c\sinh \left(\frac{a\tau }{c}\right),U^2=U^3=0$，进而按4速度的定义得到

设 $t(0)=0$：

同理

对 $\tau$ 积分：

绘制运动的bro.的世界线：

left=-1;right=10
top=24;bottom=-3
---
(x+2)^2 - y^2 =4|x>0|5>y>0|green
(x-2-3.3852*2)^2 - (y-10)^2 =4|3.3852*2>x>3.3852|10>y>5|red
(x-2-3.3852*2)^2 - (y-10)^2 =4|3.3852*2>x>3.3852|15>y>10|blue
(x+2)^2 - (y-20)^2 =4|3.3852>x>0|20>y>15|orange

2 补充题

2.1

显然

2.2

所以不可能同时发生，可能同地发生。设新惯性系 $K^{\prime }$ 相对于 $K$ 的速度为 $\overrightarrow{v}$，直接根据 $\mathrm{\Delta }{\mathit{r}}^{\prime }=0$ 和洛伦兹变换可知

2.3

中微子速度接近光速，所以

中微子和光到达时间相差为

2.4

你可以直接计算积分

来解决此题。更简单的方法是，首先计算交点

即第二条世界线的最大速度为 $\frac{c}{2}$，意味着第二只钟是类时的，课上讲到“类时的世界线中直线的固有时最大”，所以第一只钟显示更长的固有时。

3 思考题

3.1

3.2 SO(3)

令矩阵为 $J=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$，注意到 $J^2=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_{2\times 2}$，$J^3=-J$，$J^4=I_{2\times 2}$，所以利用泰勒级数展开：

所以

因为 $[K,K]=0$：

证明完毕。

3.3 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$

令 $k_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$，根据 ${\mathrm{\Lambda }}_x=e^{\xi {\mathrm{\Omega }}_x}$ 可以得到其 $Lie$ 群表示, 注意到 $k_x^2=I_{2\times 2}$ :

即 :

同样的逻辑，因为生成元矩阵 $\mathrm{\Omega }$ 与其自身对易：

这也反映了沿同一方向的两个洛伦兹提升，其快度是直接相加的。

3.4

对于 $O(1,3)$ 群元 ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2$：

• 验证群的封闭性。

所以 ${\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2\in O(3,1)$。

• 验证群的逆元存在性。

首先确定 $\mathrm{\Lambda }$ 是可逆的。对定义式 ${\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }=\eta$ 两边取行列式：

由于 $det(\eta )\ne 0$（其值为 $-1$），且 $det({\mathrm{\Lambda }}^T)=det(\mathrm{\Lambda })$，可得：

行列式不为 0，说明 $\mathrm{\Lambda }$ 必定存在逆矩阵 ${\mathrm{\Lambda }}^{-1}$。

在等式 ${\mathrm{\Lambda }}^T\eta \mathrm{\Lambda }=\eta$ 左边乘以 $({\mathrm{\Lambda }}^T{)}^{-1}$，右边乘以 ${\mathrm{\Lambda }}^{-1}$：

因此 ${\mathrm{\Lambda }}^{-1}\in O(3,1)$。

3.5

3.5.1

成立

1. 封闭性（乘法）：
   • 如果 ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2\in SO(1,3{)}^{\uparrow }$，那么他们的行列式均为 1，则 $det({\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2)=det{\mathrm{\Lambda }}_{1}det{\mathrm{\Lambda }}_2=1\times 1=1$。
   • 对于性质 ${\mathrm{\Lambda }}^0{}_0\ge 1$，两个正规变换的乘积依然是正规的（这可以通过柯西-施瓦茨不等式证明，见后续 #3.5.3 若 $ Lambda_1, Lambda_2$ 满足 $(Lambd{a}_1)0_{0}ge1$ 且 $(Lambd{a}_2)0_{0}ge1$，则它们的乘积 $ Lambda = Lambda_1 Lambda_2$ 的分量 $ Lambda 0_0$ 也必然满足 $ Lambda 0_0 ge 1$。）。
   • 因此，乘积依然属于该子集。
2. 逆元存在性：
   • 如果 $det\mathrm{\Lambda }=1$，则 $det({\mathrm{\Lambda }}^{-1})=1$。
   • 对于性质 ${\mathrm{\Lambda }}^0{}_0\ge 1$，${\mathrm{\Lambda }}_0{}^0=g_{0\alpha }{g}^{0\beta }{\mathrm{\Lambda }}^{\alpha }{}_{\beta }=g_{00}{g}^{00}{\mathrm{\Lambda }}^0{}_0={\mathrm{\Lambda }}^0{}_0\ge 1$。
   • 因此，逆元依然属于该子集。

3.5.2

不成立。

除了包含单位矩阵的分支 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 以外，其余三个子集均不构成群。比如，假设我们取子集 ${\mathrm{\Sigma }}_i=\mathcal{P}SO(1,3{)}^{\uparrow },(det=-1,{\mathrm{\Lambda }}^0{}_0\ge 1)$，选取 ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2\in {\mathrm{\Sigma }}_i$，则 $det{\mathrm{\Lambda }}_1=det{\mathrm{\Lambda }}_2=-1$，它们的乘积 ${\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2$ 的行列式为 $(-1)\times (-1)=1$，落回了单位分支 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 中。

3.5.3 若 ${\mathrm{\Lambda }}_1,{\mathrm{\Lambda }}_2$ 满足 $({\mathrm{\Lambda }}_1{)}^0{}_0\ge 1$ 且 $({\mathrm{\Lambda }}_2{)}^0{}_0\ge 1$，则它们的乘积 $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2$ 的分量 ${\mathrm{\Lambda }}^0{}_0$ 也必然满足 ${\mathrm{\Lambda }}^0{}_0\ge 1$。

对于任何 $\mathrm{\Lambda }\in O(3,1)$，取 ${\mathrm{\Lambda }}^{T}g\mathrm{\Lambda }=g$ 的00分量得：

所以，可以定义对于 $SO(1,3{)}^{\uparrow }$ 群元，${\mathrm{\Lambda }}^0{}_0\ge 1$ 。

令 $\overrightarrow{a}=(({\mathrm{\Lambda }}_1{)}^0{}_1,({\mathrm{\Lambda }}_1{)}^0{}_2,({\mathrm{\Lambda }}_1{)}^0{}_3)$，$\overrightarrow{b}=(({\mathrm{\Lambda }}_2{)}^1{}_0,({\mathrm{\Lambda }}_2{)}^2{}_0,({\mathrm{\Lambda }}_2{)}^3{}_0)$ 其模长满足：

又，乘积矩阵 $\mathrm{\Lambda }={\mathrm{\Lambda }}_1{\mathrm{\Lambda }}_2$ 的左上角元素为：

根据柯西-施瓦茨不等式 $|\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}|\le |\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，有：

代入刚才的模长公式：

因为

所以总是有 $xy\ge \sqrt{x^2-1}\sqrt{y^2-1}+1$，因此 ${\mathrm{\Lambda }}^0{}_0\ge 1$。

3.5.3

当一个粒子在它的瞬时共动参考系（Momentarily Comoving Reference Frame，MCRF）中感受到的固有加速度 $a$ 为常数时，它在实验室坐标系下的运动轨迹并不是抛物线，而是双曲线。

首先，力 $F$ 定义为动量的变化率：

在 MCRF 中，物体感受到的力满足由牛二定律 $F=ma$。所以有：

其中 $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ 是实验系测得的加速度。设 $t=0$ 时，$v=0$，对运动方程进行积分：

世界线即轨迹 $x(t)$。对速度 $v(t)=\frac{dx}{dt}$ 再次积分。设 $t=0$ 时，$x=0$：

改写上述方程，可以得到 $x$ 和 $t$ 的双曲线关系：

left=-1;right=10
top=10;bottom=-3
---
(x+2)^2 - y^2 =4